Lexikon der Mathematik: Faber-Polynome
auf einem Kompaktum in ℂ wie folgt definierte Polynome.
Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge derart, daß K und Kc = ℂ \ K zusammenhängend sind. Dann existiert genau eine konforme Abbildungψ von Δ :={ w ∈ ℂ : |w| > 1 } auf Kc mit
und c > 0. Dabei ist c die Kapazität von K. Die Umkehrabbildung von ψ sei φ. Dann existiert ein r > 0 mit
und cd = 1. Weiter gilt für n ∈ ℕ die Laurent-Entwicklung
Der Polynomanteil dieser Laurent-Entwicklung heißt dann das n-te Faber-Polynom bezüglich K und wird mit Fn bezeichnet. Man setzt noch F0(z) = 1.
Wegen d ≠ 0 ist Fn ein Polynom vom genauen Grad n. Manche Autoren benutzen die Bezeichnung Faber-Polynome für die normierten Polynome
Die explizite Berechnung von Fn ist nur in Sonderfällen möglich. Für
mit z0 ∈ ℂ und r > 0 gilt
für n ∈ ℕ0.
Ist K = [−1, 1] und n ∈ ℕ, so ist \(\frac{1}{2}{F}_{n}\) das n-te Tschebyschew-Polynom (1. Art).
Aus der Definition erhält man sofort
Die Zahlen bnk heißen Grunsky-Koeffizienten.
Weiter folgt hieraus für m, n ∈ ℕ0 und R > 1
Es existiert eine erzeugende Funktion für die Faber-Polynome. Dazu sei R > 1, CR :={ z ∈ ℂ : |φ(z)|= R } eine äußere Niveaulinie von K und GR das Innere von CR. Dann gilt für |w|= R und z ∈ GR die Integraldarstellung
und hieraus folgt
Es existieren Konstanten A > 0 und \(\alpha \in (0,\frac{1}{2})\) (die nicht von K abhängen) mit
Weiter gilt für w ∈ Δ
wobei die Konvergenz in jeder abgeschlossenen Teilmenge von Δ gleichmäßig ist. Hieraus folgt, daß es zu jedem R > 1 ein n0 = n0(R) gibt derart, daß für n >n0 alle Nullstellen von Fn in GR liegen. Ist speziell K eine konvexe Menge mit inneren Punkten, so gilt genauer
Daher liegen in diesem Fall alle Nullstellen von Fn im Innern von K.
Faber-Polynome spielen eine wichtige Rolle bei der Darstellung holomorpher Funktionen durch Faber-Reihen.
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