Lexikon der Mathematik: Faber-Reihen
wie folgt definierte Verallgemeinerung von Potenzreihen.
Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge derart, daß K und Kc = ℂ \ K zusammenhängend sind und Fn das n-te Faber-Polynom bezüglich K (wobei sämtliche Bezeichnungen aus diesem Stichwort übernommen werden). Ist (an) eine Folge komplexer Zahlen, so heißt die formale unendliche Reihe
eine Faber-Reihe.
Gilt
und ist R > 1, so ist die Reihe (1) in GR kompakt konvergent gegen eine in GRholomorphe Funktionf. In diesem Fall gilt für n ∈ ℕ0
wobei 1 < r< R. Falls \(\mathrm{lim}{\sup }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=0\), so ist die Reihe (1) in ganz ℂ kompakt konvergent. Ist umgekehrt R > 1, f eine in GR holomorphe Funktion und definiert man die Zahlen an durch (3), so ist die zugehörige Faber-Reihe (1) in GR kompakt konvergent gegen f. Besitzt f mindestens eine Singularität auf CR, so gilt außerdem (2). Die Reihe (1) heißt dann die Faber-Reihe von f, und die Zahlen an nennt man die Faber-Koeffizienten von f. In diesem Sinne sind Faber-Reihen eine natürliche Verallgemeinerung von Potenzreihen.
Nun sei speziell \(K=\bar{G}\) mit einem Jordan-Gebiet G, d. h. C = ∂G ist eine Jordan-Kurve. Dann ist die konforme Abbildung ψ zu einem Homöomorphismus von \(\bar{\Delta }\) auf ℂ \ G fortsetzbar. Weiter sei \(f\in A(\bar{G})\), d. h. \(f:\bar{G}\to {\mathbb{C}}\) ist eine in \(\bar{G}\) stetige und in G holomorphe Funktion. Dann kann man ebenfalls die Faber-Koeffizienten an von f gemäß (3) bilden, wobei r = 1 ist. Es entsteht die Frage, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen die Faber-Reihe (1) von f gleichmäßig auf \(\bar{G}\) gegen f konvergiert. Dieses schwierige Problem konnte bisher nicht vollständig gelöst werden. Im folgenden werden einige Teilergebnisse erwähnt. Wesentlich dabei ist die Geometrie der Randkurve C und die „Glattheit“ von f auf C.
Dazu sei ∏n die Menge aller Polynome vom Grad höchstens n ∈ ℕ0 und En( f, K) der Fehler bei der besten Approximation von f auf K durch Polynome aus ∏n, d. h.
Weiter sei Sn die n-te Teilsumme der Faber-Reihe von f, d. h.
Dann existieren Konstanten A > 0 und \(\alpha \in (0,\frac{1}{2})\) (die nicht von K oder f abhängen) mit
Um genauere Ergebnisse für spezielle kompakte Mengen K zu formulieren, sei C eine rektifizierbare Jordan-Kurve, L die Länge von C und γ : [0, L] → C die Parameterdarstellung von C bezüglich der Bogenlänge. Dann besitzt C für fast alle s ∈ (0, L) eine Tangente im Punkt γ (s), und ϑ(s) bezeichne den Winkel der Tangente mit der positiven reellen Achse.
Falls sich die Funktion ϑ derart auf [0, L] fortsetzen läßt, daß eine Funktion von beschränkter Variation entsteht, so heißt C von beschränkter Drehung. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn C ein Polygonzug oder allgemeiner aus endlich vielen konvexen Teilbögen zusammengesetzt ist; Ecken sind dabei erlaubt. Ist nun C von beschränkter Dre-hung, so existieren Konstanten A > 0 und B > 0 (die nur von K, aber nicht von f abhängen) mit max
Besitzt C außerdem keine einspringenden Spitzen und erfüllt f zusätzlich die Dini-Bedingung
für ein h > 0, wobei ωf den Stetigkeitsmodul von f auf K bezeichnet, d. h.
so konvergiert die Faber-Reihe von f gleichmäßig auf K gegen f. Die Dini-Bedingung (4) ist zum Beispiel erfüllt, wenn f einer Lipschitz-Bedingung genügt, d. h. es existieren Konstanten α ∈ (0, 1] und M > 0 mit
für alle z1, z2 ∈ K. In diesem Fall gilt nämlich
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.