Hauptsystem, Basis des Lösungsraumes einer homogenen Differentialgleichung bzw. eines homogenen Differentialgleichungssystems.

Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ, und es seien I ⊂ ℝ ein offenes Intervall und a_i : I → 𝕂 stetige Funktionen. Die 𝕂-wertigen Lösungen der homogenen Gleichung n-ter Ordnung \begin{equation} y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{1}(x)y^{\prime}+a_{0}(x)y=0\ \end{equation} bilden einen n-dimensionalen Vektorraum über 𝕂, den sog. Lösungsraum. Es gibt also n linear unabhängige Lösungen der Gleichung (1), bezeichnet mit y₁, …, y_n. Jede Lösung der Gleichung (1) läßt sich dann eindeutig als Linearkombination der yi darstellen. Analoges gilt für die vektorwertigen Lösungen y von homogenen linearen Differentialgleichungssystemen\begin{equation} \mathbf{y}^{\prime}=A(t)\mathbf{Y}. \end{equation} Hier faßt man n linear unabhängige Lösungen y₁, …, y_n, also ein Fundamentalsystem, in einer Matrix Y := (y_i, …, y_n) zusammen. n Lösungen der homogenen Gleichung (1) bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre Wronski-Determinante ungleich 0 ist.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.