Hilfsmaß zur Definition der Hausdorff-Dimension. Sei \(s\in {\mathbb{R}},s\ge 0\), und seien weiterhin X ein Banachraum und \({\mathscr{K}}\) eine Menge beschränkter Teilmengen von X. Die Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\mu }_{s}^{H}:{\mathscr{K}}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\cup \{\infty \},\quad F\mapsto {\mu }_{s}^{H}(F)\quad \text{mit}\\ {\mu }_{s}^{H}(F):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\delta \to 0}\left(\inf \{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|{U}_{i}{|}^{s}|F\subset \displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cup }}{U}_{i},|{U}_{i}|\le \delta \}\right)\end{array}\end{eqnarray} heißt das s-dimensionale Hausdorff-Maß von F, wobei \begin{eqnarray}|{U}_{i}|:=\sup \{\Vert x-y\Vert |x,y\in {U}_{i}\}\end{eqnarray} gilt.

Man kann zeigen, daß \({\mu }_{s}^{H}\) ein Maß auf X ist. Für jede Menge \(F\in {\mathscr{K}}\) existiert ein s₀ mit \begin{eqnarray}{\mu }_{s}^{H}(F)=\left\{\begin{array}{ll}\infty \,\,\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\,\,s \lt {s}_{0},\\ 0\,\,\,\,\,\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\,\,s\gt {s}_{0}.\end{array}\right.\end{eqnarray} Mit Hilfe dieser Eigenschaft des Hausdorff-Maßes wird die Hausdorff-Dimension definiert.

Als Skalierungseigenschaft des Hausdorff-Maßes bezeichnet man für \(F\in {\mathscr{K}}\) und λ ∈ ℝ, λ > 0 die Gleichung \begin{eqnarray}{\mu }_{s}^{H}(\lambda F)={\lambda }^{s}{\mu }_{s}^{H}(F).\end{eqnarray}

[1] Falconer, K.J.: Fraktale Geometrie: Mathematische Grundlagen und Anwendungen. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1993.