Lexikon der Mathematik: Hausdorff-Dimension
wichtiges Beispiel einer fraktalen Dimension.
Es sei X Banachraum. Für eine nichtleere beschränkte Teilmenge F ⊂ X mit dem Hausdorff-Maß \({\mu }_{s}^{H}(F)\) heißt
Die Hausdorff-Dimension besitzt folgende Eigenschaften:
- Offene beschränkte Teilmengen des \({{\mathbb{R}}}^{n}\) und n-dimensionale stetig differenzierbare Mannigfaltigkeiten haben die Hausdorff-Dimension n.
- Abzählbare Mengen haben die Hausdorff-Dimension 0.
- Monotonie: dimHE ≥ dimHF für E ⊂ F.
- Abzählbare Stabilität: Für eine Folge von Mengen \({\{{F}_{i}\}}_{i\in {\mathbb{N}}}\) gilt dimH
\begin{eqnarray}\displaystyle {\cup }_{i=1}^{\infty }{F}_{i}={\sup }_{i\in {\mathbb{N}}}\{di{m}_{H}{F}_{i}\}\end{eqnarray} .
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