wichtiger Satz in der Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten.

Sei M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es bezeichne A^p,q(M) den Raum der (p, q)-Formen auf M und \({{\mathscr{K}}}^{p,q}(M)\) den Raum der harmonischen (p, q)-Formen auf M. Dann gilt das folgende Hodge-Theorem:

1. Es ist dim \({{\mathscr{K}}}^{p,q}(M)\lt \infty \).

2. Die Orthogonal-Projektion\begin{eqnarray}{\mathscr{K}}:{A}^{p,q}(M)\to {{\mathscr{K}}}^{p,q}(M)\end{eqnarray}ist wohldefiniert, und es gibt einen eindeutigen Operator, den sogenannten Greenschen Operator G : A^{p, q}(M) → A^{p, q} (M) mit \(G({{\mathscr{K}}}^{p,q}(M))=0\), \(\bar{\partial }G=G\bar{\partial },\space {\bar{\partial }}^{* }G=G\space {\bar{\partial }}^{* }\)und\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}I={\mathscr{K}}+{\rm{\Delta }}G \end{array}\end{eqnarray}aufA^{p, q}(M).

Gleichung (1) in der Form \begin{eqnarray}\psi ={\mathscr{K}}(\psi )+\bar{\partial }({\bar{\partial }}^{\ast }G\psi )+{\bar{\partial }}^{* }(\bar{\partial }G\psi )\end{eqnarray} heißt die Hodge-Zerlegung auf Formen. Siehe auch Hodge-Zerlegung.