Lexikon der Mathematik: homotope Wege
Wege in einem GebietG ⊂ ℂ, die sich in G stetig ineinander überführen lassen.
Zur präzisen Definition betrachtet man zwei Fälle.
1. Zwei Wege γ0, γ1: [0, 1] → G in einem Gebiet G ⊂ ℂ mit gleichem Anfangspunkt a und Endpunkt b heißen homotop in G bei festen Endpunkten (oder kurz FEP-homotop), falls es eine stetige Abbildung ψ: [0, 1] × [0, 1] → G gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:
Die Abbildung ψ heißt eine Homotopie zwischen γ0 und γ1. Für jedes s ∈ [0, 1] ist γs : [0, 1] → G, t ↦ ψ(s, t) ein Weg in G mit Anfangspunkt a und Endpunkt b. Die Wegeschar (γs)s∈[0, 1] nennt man auch eine Deformation des Weges γ0 in den Weg γ1.
2. Zwei geschlossene Wege γ0, γ1 : [0, 1] → G in einem Gebiet G ⊂ ℂ heißen frei homotop in G, falls es eine stetige Abbildung ψ: [0, 1] × [0, 1] → G gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:
Dann sind alle Deformationswege γs : [0, 1] → G, t ↦ ψ(s, t) geschlossen, und ihre Anfangspunkte durchlaufen in G den Weg δ: [0, 1] → G, s ↦ ψ (s, 0). Die Wege γ0 und δ + γ1 − δ haben gleichen Anfangs- und Endpunkt und sind FEP-homotop in G.
Homotope Wege spielen u. a. beim Cauchyschen Integralsatz eine zentrale Rolle.
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