eine in einem Gebiet G ⊂ ℂ holomorphe Funktion mit f(G) ⊂ G. Die Menge aller inneren Abbildungen von G wird mit Hol G bezeichnet und ist bezüglich der Komposition von Abbildungen eine Halbgruppe. Sie enthält die Automorphismengruppe des Gebietes G.

Für konvergente Folgen innerer Abbildungen gilt folgender Satz.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und (f_n) bzw. (g_n) Folgen von in G holomorphen Funktionen, die in G kompakt konvergent gegen f bzw. g sind. Dann gelten folgende Aussagen:

1. Ist f_n ∈ Hol G für alle n ∈ ℕ und f nicht konstant, so ist f ∈ Hol G.
2. Ist f_n ∈ Hol G für alle n ∈ ℕ und f ∈ Hol G, so ist (g_n ∘ f_n) kompakt konvergent gegen g ∘ f.
3. Ist f_n ∈ Aut G für alle n ∈ ℕ und f ∈ Aut G, so ist \(\begin{eqnarray}({f}_{n}^{-1})\end{eqnarray}\)kompakt konvergent gegen f⁻¹ ∈ Aut G.
4. Ist G beschränkt und f_n ∈ Aut G für alle n ∈ ℕ, so ist entweder f ∈ Aut G, oder f ist konstant und f(G) ⊂ ∂G.