Lexikon der Mathematik: Automorphismengruppe eines Gebietes
Gruppe aller konformen Abbildungenf eines GebietesG ⊂ ℂauf sich (Automorphismus eines Gebietes). Sie wird mit Aut G bezeichnet und ist eine Gruppe bezüglich der Komposition ℝ von Abbildungen.
Die präzise Bestimmung dieser i.allg. nicht kommutativen Gruppe ist eine wichtige Aufgabe der Riemannschen Funktionentheorie, sie ist aber nur in Ausnahmefällen möglich. Für einfach oder zweifach zusammenhängende Gebiete G ist Aut G eine unendliche Gruppe; ist G ≠ ℂ einfach zusammenhängend, so ist Aut G isomorph zu Aut \({\mathbb{E}}\).
Es sei Gn ein beschränktes Gebiet ohne isolierte Randpunkte mit genau n Löchern, n ∈ ℕ, n ≥ 2, d. h. ℂ \ Gn besitzt genau n kompakte Zusammenhangskomponenten. Dann ist Aut Gn isomorph zu einer endlichen Untergruppe der Gruppe der Möbius-Transformationen.
Für die bestmögliche obere Schranke N(n) für die Elementezahl von Aut Gn gilt N(n) = 2n, falls n ≠ 4, 6, 8, 12, 20, N(4) = 12, N(6) = N(8) = 24 und N(12) = N(20) = 60. Die Zahlen 2n, 12, 24, 60 sind die Ordnungen der Dieder-, Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppe.
Gebiete mit unendlich vielen Löchern können unendliche Automorphismengruppen haben, z. B. ist Aut \(({\rm{{\mathbb{C}}}}\backslash {\mathbb{Z}})=\{z\mapsto z+n:n\in {\mathbb{Z}}\}\).
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