Lexikon der Mathematik: Isomorphismus
bijektive lineare Abbildungf : U → V zwischen zwei Mengen, meist Vektorräumen U und V.
Die Hintereinanderausführung gf : U → W zweier Isomorphismen f : U → V und g : V → W ist wieder ein Isomorphismus; ebenso die Umkehrabbildung f-1 : V → U.
Eine lineare Abbildung f : U → V ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie eine beliebige Basis von U auf eine Basis von V abbildet. Zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen (Dimension eines Vektorraumes) über demselben Körper existiert genau dann ein Isomorphismus, wenn die Räume gleiche Dimension besitzen. Bzgl. fest gewählter Basen (u1,…,un) von U und (ν1,…,νn) von V wird ein Isomorphismus durch eine reguläre (n × n)-Matrix beschrieben und umgekehrt; die Isomorphismen zwischen n-dimensionalen Vektorräumen entsprechen bzgl. fest gewählter Basen also umkehrbar eindeutig den regulären (n × n)-Matrizen. Eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen ist genau dann bijektiv, d. h. ein Isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Beispiele: (1) Ist B = (bi)i∈I eine Basis des \({\mathbb{K}}\)- Vektorraumes V, so ist V isomorph zu \({\mathbb{K}}\)
Neben der hier beschriebenen (und in der Praxis am häufigsten auftretenden) Isomorphie von Vektorräumen existiert der Begriff des Isomorphismus auch in anderen Bereichen, siehe etwa Isomorphismus von Kategorien; fundamental ist dabei immer die Tatsache, daß es sich um eine eineindeutige Beziehung zwischen zwei Strukturen handelt.
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