Typus von Aussagen in der Approximationstheorie, die die Minimalabweichung bei der Approximation mit Polynomen oder trigonometrischen Polynomen mit Hilfe der Glattheit der zu approximierenden Funktion ausdrücken, indem sie die Minimalabweichung nach oben abschätzen.

Als ein typisches Beispiel, das jedoch zahlreiche Verallgemeinerungen und Übertragungen besitzt, geben wir folgenden Satz an.

Es sei f ∈ C[a, b]. Mit ω(f: δ) bezeichnen wir den Stetigkeitsmodul von f, und mit \({\varrho }_{n}(f)\)die Minimalabweichung bei der Approximation von f durch Polynome höchstens n-ten Grades auf [a, b] in der Maximumnorm. Dann gilt die Abschätzung\begin{eqnarray}{\varrho }_{n}(f)\le C^* \cdot \omega (f;(b-a)/n)\end{eqnarray}mit der Konstanten\begin{eqnarray}C^* =1+\frac{{\pi }^{2}}{2}\lt 6.\end{eqnarray}

Als Korollar aus diesem Satz erhält man für unendlich oft differenzierbare Funktionen folgendes Resultat:

Ist, unter den Voraussetzungen des obigen Satzes, \(f\in {C}^{\infty }[a,b]\), so gilt\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{n}^{j}\cdot {\varrho }_{n}(f)=0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,j\,\in {\mathbb{N}}.\end{array}\end{eqnarray}

Weitergehende Informationen findet man in der Literatur, beispielsweise [1].

[1] Meinardus, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1964.