ist eine Verschärfung des großen Satzes von Picard und lautet:

Es seiz₀ ∈ ℂ und f eine in\begin{eqnarray}{\dot{B}}_{R}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:0|z-{z}_{0}|\lt R\}\end{eqnarray}holomorphe Funktion, die an z₀eine wesentliche Singularität besitzt.

Dann existiert ein t₀ ∈ [0, 2π) derart, daß f in jedem Kreissektor\begin{eqnarray}\{{z}_{0}+r{e}^{it}:|t-{t}_{0}|\lt \varepsilon, 0\lt r\lt \varepsilon \},\end{eqnarray} 0 < ε< R jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.

Für jedes solche t₀ heißt e^it₀ eine Julia-Richtung und der Strahl {z₀ + re^it₀ : r > 0 } eine Julia-Linie von f. Als Folgerung erhält man:

Es sei f eine ganz transzendente Funktion. Dann existiert ein t₀ ∈ [0, 2π) derart, daß f in jedem Winkelraum {re^it : |t − t₀| < ε, r > 0}, ε > 0, jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.

Auch in diesem Fall heißt e^it₀ eine Julia-Richtung und der Strahl {re^it₀ : r > 0} eine Julia-Linie von f. Einige Beispiele:

1. f (z) = e^z besitzt zwei Julia-Richtungen, nämlich e^±iπ/2 = ±i. Der Wert a = 0 wird nicht angenommen.
2. f (z) = sin z und f (z) = cos z besitzen zwei Julia-Richtungen, nämlich eⁱ⁰ = 1 und e^iπ = −1.
3. f (z) = e^z2 besitzt vier Julia-Richtungen, nämlich e^iπ/4, e^3iπ/4, e^5iπ/4, e^7iπ/4.
4. \(f(z)=cos\sqrt{z}\) besitzt eine Julia-Richtung, nämlich eⁱ⁰ = 1.

Es gibt ganz transzendente Funktionen f derart, daß jede Richtung eine Julia-Richtung von f ist.