(über einem Ring R), ein Tripel (C, Δ α) bestehend aus einem Modul C über dem kommutativen Ring R mit 1, einer R-linearen Abbildung Δ : C → C⊗C, die Komultiplikation oder Diagonalabbildung genannt wird, und einer R-linearen Abbildung α : C → R, die Koeinheit oder Augmentation genannt wird.

Es seien die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. (Δ⊗id_C)○Δ = (id_C⊗Δ)○Δ für die Abbildungen C → C ⊗ C ⊗ C.
2. (α ⊗ id_C) ○ Δ = t_l und (id_C ⊗ α) ○ Δ = t_r mit den Abbildungen t_l : C → R ⊗ C, x ↦ 1 ⊗ x und t_r : C → C ⊗ R, x ↦ x ⊗ 1.

Ein Beispiel einer Koalgebra ist die Gruppenalgebra 𝕂[G] einer Gruppe G über einem Körper 𝕂. Sie ist der Vektorraum über 𝕂 mit Basis {e_g | g ∈ G} und Multiplikation m, definiert durch \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{g\in G}{\alpha }_{g}{e}_{g}\,\cdot\,\displaystyle \sum _{f\in G}{\beta }_{f}{e}_{f}.\,:=\,\displaystyle \sum _{f,g\in G}{\alpha }_{g}{\beta }_{f}{e}_{gf}.\end{eqnarray}

Die Komultiplikation \begin{eqnarray}\Delta\,:\,{\mathbb{K}}[G]\to {\mathbb{K}}[G]\otimes{\mathbb{K}}[G]\,\,\end{eqnarray} wird induziert durch e_g ↦ e_g ⊗ e_g. Die Koeinheit α : 𝕂[G] → 𝕂 wird induziert durch e_g ↦ 1_K. Damit trägt 𝕂[G] neben der Algebrenstruktur auch eine Koalgebrenstruktur.

In der Tat ist 𝕂[G] eine Bialgebra.