eine Summe der Form

\begin{eqnarray}{\alpha }_{1}{v}_{1}+\cdots +{\alpha }_{n}{v}_{n},\end{eqnarray}

wobei die v_i Elemente eines VektorraumesV über dem Körper 𝕂 sind, und die α_i Skalare aus 𝕂.

Ein Vektor v ∈ V, zu dem α₁, …, α_n ∈ 𝕂 existieren mit v = α₁v₁ +···+ α_nv_n, wird als Linearkombination der Vektoren v₁, …, v_n bezeichnet; sind hier alle α_i = 0, spricht man von einer trivialen Linearkombination, im anderen Fall von einer nichttrivialen.

Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination einer nicht-leeren Teilmenge M ⊆ V, wenn er Linearkombination endlich vieler Vektoren aus M ist; ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination einer Familie (v_i)_i∈I von Vektoren aus V, falls eine Familie (α_i)_i∈I von Skalaren aus 𝕂 so existiert, daß gilt:

\begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{i\in I;\,{\alpha }_{1}\ne 0}{\alpha }_{1}{v}_{1},\end{eqnarray}

wobei nur endlich viele α_i von Null verschieden sind. Eine Linearkombination über eine leere Familie von Vektoren ergibt immer den Nullvektor: Σ_i∈∅α_iv_i = {0}. Betrachtet man die Menge M als selbst indizierte Familie, d. h. M = (v)_v∈M, so fallen beide Definitionen zusammen. Die Menge aller Linearkombinationen einer Familie von Vektoren eines Vektorraumes V ist stets ein Unterraum von V, der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, der alle Vektoren der Familie enthält.

Man vergleiche auch die Stichwörter linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle.