Lexikon der Mathematik: Lorentz-Räume
Verallgemeinerungen der FunktionenräumeLp(μ) und der Folgenräumeℓp.
Sei (Ω, Σ, μ) ein Maßraum und f : Ω → ℂ meßbar. Man setze
f* heißt die fallende Umordnung von f; f* hat dieselbe Verteilung bzgl. des Lebesgue-Maßes wie | f| bzgl. μ, d.h. df = df*. Für 0 < p< ∞ und 0 < q ≤ ∞ setze man
Der Lorentz-Raum Lp,q(μ) besteht aus allen (Äquivalenzklassen von) meßbaren Funktionen f mit ∥f∥p,q< ∞.
Auf dem Raum Lp,q(μ) ist ∥·∥p,q eine Quasinorm (im Fall 1 < p< ∞, 1 ≤ q ≤ p sogar eine Norm), und (Lp,q(μ), ∥ · ∥p,q) ist ein Quasi-Banachraum. Man kann im Fall 1 < p< q ≤ ∞ jedoch eine äquivalente Banachraum-Norm finden.
Ist p = q, so erhält man offensichtlich Lp,p(μ) = Lp(μ) und ∥f∥p, p = ∥f ∥p; die Räume Lp,∞(μ) heißen auch schwache Lp-Räume. Es gilt stets \({L}^{p,{q}_{1}}(\mu )\subset {L}^{p,{q}_{2}}(\mu )\) für q1 ≤ q2, und für endliche Maße hat man \({L}^{{p}_{1},{q}_{1}}(\mu )\supset {L}^{{p}_{2},{q}_{2}}(\mu )\) für p1< p2 und beliebige qj.
Im Fall des zählenden Maßes auf ℕ wird Lp,q(μ) mit ℓp,q bezeichnet. Eine äquivalente (Quasi-) Norm ist hier
Die Lorentz-Räume treten in der Interpolationstheorie linearer Operatoren auf. Ferner sind viele Operatoren, die für p > 1 als Operatoren von Lp nach Lp stetig sind, nicht mehr für p = 1 stetig, wohl aber von L1 nach L1,∞; ein Beispiel ist die Hilbert-Transformation.
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