Lexikon der Mathematik: Folgenräume
diskrete Analoga der Funktionenräume.
Im engeren Sinn versteht man darunter aus Folgen reeller oder komplexer Zahlen bestehende Banachräume, für die die linearen Funktionale (sn) ↦ sk stetig sind (BK-Räume).
Beispiele für Folgenräume sind der Raum der konvergenten Folgen c, der Raum der Nullfolgen co und der Raum der beschränkten Folgen ℓ∞, die, jeweils mit der Supremumsnorm
\begin{eqnarray}\Vert (s_{n})\Vert_{\infty}=\sup_{n}\vert s_{n}\vert\end{eqnarray}
versehen, Banachräume sind:\begin{eqnarray}\Vert (s_{n})\Vert_{p}=\Bigl(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\vert (s_{n})\vert^{p}\Bigr)^{1/p}.\end{eqnarray}
Der Dualraum von c0 ist isometrisch isomorph zu ℓ1, der Dualraum von ℓ1 ist isometrisch isomorph zu ℓ∞, und für 1 < p< ∞ und 1/p + 1/q = 1 ist der Dualraum von ℓp isometrisch isomorph zu ℓq.Für 1 < p< ∞ ist ℓp reflexiv; der Raum ℓ2 ist ein Hilbertraum, und nach dem Satz von Fischer-Riesz ist jeder unendlichdimensionale separable Hilbertraum zu ℓ2 isometrisch isomorph.
Jeder Banachraum, der eine Schauder-Basis besitzt, kann als Folgenraum aufgefaßt werden. Weitere Beispiele sind Lorentz-Räume.
[1] Dunford, N.; Schwartz, J. T.: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley, 1958.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer, 1995.
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