Lageparameter der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Ist X eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierte reelle Zufallsvariable, so wird jede Zahl m ∈ ℝ mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}P(X\le m)\ge \frac{1}{2}\quad \text{und}\quad P(X\ge m)\ge \frac{1}{2}\end{eqnarray} als Median der Verteilung von X bzw. als Median von X bezeichnet. Haufig findet man auch die aquivalente Definition des Medians einer Verteilungsfunktion. Als solcher wird jede Zahl m ∈ ℝ bezeichnet, fur die die Verteilungsfunktion F_X die Ungleichungen \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow m}{F}_{X}(x)\le \frac{1}{2}0\le {F}_{X}(m)\end{eqnarray} erfullt. Existiert ein Intervall [a, b] mit \(P(X\le a)=P(X\ge b)=\frac{1}{2}\), so ist der Median durch die genannten Bedingungen nicht eindeutig bestimmt, vielmehr ist dann jede Zahl m ∈ [a, b] ein Median. Diese Situation tritt in der Regel im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen auf. In allen anderen Fällen, insbesondere wenn die Verteilungsfunktion FX streng monoton wächst, tritt dieses Eindeutigkeitsproblem nicht auf. Ist X symmetrisch um eine Zahl c verteilt, d. h. gilt für alle x ∈ ℝ die Beziehung P(X ≥ x + c) = P(X ≤ −x + c), so ist c ein Median. Bezitzt X darüber hinaus einen endlichen Erwartungswert, so gilt E(X) = c. Wie die Abbildung veranschaulicht, beschreibt der Median die typische Lage einer Verteilung häufig besser als der Erwartungswert, da er den Wertebereich von X in zwei bezüglich der Verteilung von X annähernd gleich große Bereiche einteilt.