die Frage, ob zu einer vorgegebenen Folge reeller Zahlen ein Wahrscheinlichkeitsmaß existiert, dessen gewöhnliche Momente die Folgenglieder sind, und ob dieses Wahrscheinlichkeitsmaß eindeutig bestimmt ist.

Im Falle der Eindeutigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes spricht man von einem bestimmten, sonst von einem unbestimmten Momentenproblem. Man unterscheidet u. a. das sogenannte Hausdorffsche, das Hamburgersche und das Stieltjessche Momentenproblem.

Es sei (c_n)_n∈ℕ0 eine Folge reeller Zahlen mit c₀ = 1. Das Hausdorffsche Momentenproblem besteht darin zu entscheiden, ob ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der σ-Algebra \(\mathcal{B}(\text[0,1])\) der Borelschen Mengen von [0, 1] mit \begin{eqnarray}{c}_{n}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{[0,\,1]}{x}^{n}P(dx)\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀ existiert. Es handelt sich hier um ein bestimmtes Momentenproblem. Notwendig und hinreichend für die Existenz von P ist die Bedingung, daß die durch \begin{eqnarray}{\Delta }^{k}{c}_{n}=\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right){c}_{n+i}\end{eqnarray}

definierten Größen Δ^kc_n für alle k, n ∈ ℕ₀ nicht negativ sind.

Beim Hamburgerschen Momentenproblem wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf der σ-Algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) der Borelschen Mengen von ℝ mit \begin{eqnarray}{c}_{n}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{{\mathbb{R}}}}}{x}^{n}P(dx)\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀ gesucht. Notwendig für die Existenz von P ist die Nichtnegativität der Hankel-Determinanten \begin{eqnarray}{\Delta }_{n}=|{({c}_{i+j})}_{i\,j=0}^{n}|\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀. Hinreichend für die Existenz von P ist z. B. die Bedingung Δ_n > 0 für alle n ∈ ℕ₀.

Beim Stieltjesschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsmaße auf der σ-Algebra \({\mathcal{B}({\rm{{\mathbb{R}}}}}_{0}^{+})\) der Borelschen Mengen von \({{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{0}^{+}\) betrachtet. Notwendig für die Existenz von P ist hier neben Δ_n ≥ 0 noch \begin{eqnarray}{\Delta }_{n}^{(1)}=|{({c}_{i+j+1})}_{i\,j=0}^{n}|\ge 0\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ₀. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz von P ist z. B. Δ_n > 0 und \({\Delta }_{n}^{(1)}\gt 0\) für alle n ∈ ℕ₀. Hinreichende Bedingungen für die Eindeutigkeit von P beim Hamburgerschen bzw. Stieltjesschen Momentenproblem gibt das Kriterium von Carleman (Carleman, Kriterium von) an.