auch absolutp-summierender Operator genannt, ein linearer Operator zwischen Banachräumen, der schwach p-summierbare Folgen in p-summierbare Folgen überführt.

Dabei ist 1 ≤ p< ∞, und eine Folge (x_n) heißt schwach p-summierbar, falls \begin{eqnarray}\sup \left\{{\displaystyle \sum _{n}|{x}^{\prime}({x}_{n})|}^{p}{x}^{\prime}\in {X}^{\prime},||{x}^{\prime}||\le 1\right\}\lt \infty, \end{eqnarray}

und p-summierbar, falls \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n}||{x}_{n}|{|}^{p}\lt \infty.\end{eqnarray}

Äquivalent zur Definition ist folgende endlichdimensionale Fassung: Ein Operator T : X → Y ist genau dann p-summierend, wenn eine Konstante K< ∞ mit \begin{eqnarray}{\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{N}||T{x}_{n}|{|}^{p}\right)}^{1/p}\le K \mathop{\sup }\limits_{||{x}^{\prime}||\le 1}{\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{N}|{x}^{\prime}({x}_{n}){|}^{p}\right)}^{1/p}\end{eqnarray}

für alle endlichen Familien {x₁, …, x_N} ⊂ X existiert. Die kleinstmögliche Konstante K wird p-summierende Norm π_p(T) genannt. π_p ist in der Tat eine Norm, die den Vektorraum Π^p (X, Y) aller p-summierenden Operatoren zu einem Banachraum macht.

Die p-summierenden Operatoren bilden im folgenden Sinn ein Operatorideal: Ist T : X → Y p-summierend, und sind R : W → X sowie S : Y → Z stetig, so ist auch STR : W → Z p-summierend, und für die p-summierende Norm gilt \begin{eqnarray}{\pi }_{p}(STR)\le ||S||{\pi }_{p}(T)||R||.\end{eqnarray}

Ein Beispiel eines p-summierenden Operators ist der Inklusionsoperator von C(M) nach L^p (μ), wobei M ein mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß μ versehener kompakter Raum ist. Aus der Grothendieck-Ungleichung folgt, daß jeder stetige lineare Operator von L¹ (μ) in einen Hilbertraum 1-summierend ist; ein Operator zwischen Hilberträumen ist genau dann p-summierend für ein p ≥ 1, wenn er ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Jeder p-summierende Operator ist schwach kompakt und vollstetig, und das Produkt eines p- und eines r-summierenden Operators ist kompakt, im Fall p = r = 2 sogar nuklear. Diese Resultate führen zu einem Beweis des Satzes von Dvoretzky-Rogers.

Es sei T : X → X ein p-summierender Operator. Da T² kompakt ist, besteht das Spektrum von T (außer der 0) aus einer Nullfolge von Eigenwerten (λ_n(T)) (Eigenwert eines Operators). Es gilt jedoch mehr, nämlich Σ_n |λ_n(T)|^r< ∞ für r = max{p, 2}. Dieses Ergebnis hat Anwendungen auf die Eigenwertverteilung von Integraloperatoren.

p-summierende Operatoren wurden für p = 1 und p = 2 von Grothendieck und im allgemeinen Fall von Pietsch eingeführt. Es gilt der Faktorisierungssatz von Grothendieck-Pietsch:

Ein Operator T : X → Y ist genau dann psummierend, wenn ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf der schwach-∗-kompakten dualen Einheitskugel B_X′ und eine Konstante K′ < ∞ mit\begin{eqnarray}||{T}_{x}||\le {K}^{\prime}{\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{B}_{{X}^{\prime}}}|{x}^{\prime}(x){|}^{p}d\mu ({x}^{\prime})\right)}^{1/p}\forall x\in X\end{eqnarray}

existieren; die kleinstmögliche Konstante K′ stimmt mit π_p(T) überein.

[1] Diestel, J.; Jarchow, H.; Tonge, A.: Absolutely Summing Operators. Cambridge University Press, 1995.
[2] Pietsch, A.: Eigenvalues and s-Numbers. Cambridge University Press, 1987.