Lexikon der Mathematik: Perronsche Familie
funktionentheoretischer Begriff.
Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f: ∂G → ℝ eine beschränkte Funktion, d. h. es existiert eine Konstante M ≥ 0 mit | f (ζ)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂G. Weiter sei \({\mathcal{P}}(f,G)\) die Menge aller subharmonischen Funktionenv in G derart, daß
Da f beschränkt ist, folgt \({\mathcal{P}}(f,G)\ne \varnothing \), denn die konstante Funktion v(z) = −M liegt in \({\mathcal{P}}(f,G)\). Falls G oder f unbeschränkt sind, so sind zur Definition der zugehörigen Perronschen Familie geringfügige Modifikationen notwendig.
Perronsche Familien spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung des Dirichlet-Problems in der Ebene. Siehe auch Perronsches Prinzip.
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