Lexikon der Mathematik: Perronsches Prinzip
lautet:
Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, f: ∂G → ℝ eine beschränkte Funktion und \({\mathcal{P}}(f,G)\)die Perronsche Familie bezüglich f und G. Weiter sei u: G → ℝ definiert durch
Dann ist u eine in G harmonische Funktion.
Das Perronsche Prinzip kann dazu benutzt werden, das Dirichlet-Problem in der Ebene zu lösen. Dazu seien G und f wie oben. Weiter existiere ein ζ0 ∈ ∂G und eine Funktion \(w:\bar{G}\to {\mathbb{R}}\), die in \(\bar{G}\) stetig und in G harmonisch ist derart, daß w(ζ0) = 0 und w(ζ) > 0 für alle ζ ∈ ∂G \ {ζ0}. Eine solche Funktion w nennt man eine Barriere von G an ζ0. Ist nun f stetig an ζ0, so gilt für die in (1) definierte Funktion u
Falls ℂ \ G keine Zusammenhangskomponente besitzt, die nur aus einem Punkt besteht, so kann man zeigen, daß G an jedem Punkt ζ ∈ ∂G eine Barriere besitzt. Ist schließlich f stetig auf dG, so liefert die Funktion u in (1) die Lösung des zugehörigen Dirichlet-Problems, d. h. u ist stetig fortsetzbar auf \(\bar{G}\), und es gilt u(ζ) = f(ζ) für alle ζ ∈ ∂G.
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