harmonische Abbildung, eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ definierte Funktion u : D → ℝ, die der Laplace-Gleichung genügt. Genauer muß gelten:

1. u ist in D zweimal stetig reell differenzierbar, d. h. alle zweiten partiellen Ableitungen von u existieren in D und sind dort stetig.
2. In G gilt \begin{equation}\Delta u:\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}=0.\end{equation} .

Diese Gleichung heißt auch Laplace-Gleichung oder Potentialgleichung, und harmonische Funktionen nennt man auch Potentialfunktionen.

Neben der hier gegebenen komplexen Formulierung existiert auch eine reelle Definition der harmonischen Funktion (d.h., ℂ wird durch ℝ² ersetzt), sowie offensichtliche Verallgemeinerungen im ℝⁿ für n > 2. Allerdings sind in letzterem Fall keine funktionentheoretischen Methoden mehr anwendbar.

Die Menge aller in D harmonischen Funktionen bildet mit der punktweisen Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen einen komplexen Vektorraum, der die konstanten Funktionen enthält. Die Definition läßt sich auf offene Mengen \(D\subset \hat{\mathbb{C}}\) erweitern. Ist ∞ ∈ D, so heißt u harmonisch an ∞, falls es eine in einer Umgebung U von 0 harmonische Funktion u^* gibt derart, daß u*(z) = u(1/z) für alle z ∈ U \ {0}.

Ist f eine in Dholomorphe Funktion, so sind u : = Re f und v : = Im f harmonische Funktionen in D. Hiermit erhält man sofort viele Beispiele für harmonische Funktionen. So sind beispielsweise die Funktionen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}& u_{1}(x+iy)=x,\\& u_{2}(x+iy)=y,\\& u_{3}(x+iy)=xy,\\& u_{4}(x+iy)=x^{2}-y^{2},\\& u_{5}(x+iy)=e^{x}\cos y,\\& u_{6}(x+iy)=e^{x}\sin y \end{array}\end{eqnarray} alle harmonisch in ℂ.

Ist u harmonisch in D, f eine in einer offenen Menge D* ⊂ ℂ holomorphe Funktion mit f(D*) ⊂ D und u*(z) := u(f(z)) für z ∈ D*, so ist u* harmonisch in D^*.

Für eine in einem GebietG ∈ ℂ holomorphe Funktion f mit f(z) ≠ 0 für alle z ∈ G ist die Funktion u : = log |f| harmonisch in G. Insbesondere ist u(z) := log |z| harmonisch in ℂ \ {0}.

Das Produkt harmonischer Funktionen ist im allgemeinen nicht harmonisch, wie man schon an dem einfachen Beispiel u₁(x + iy) = u₂(x + iy) = x, also \begin{equation}u(x+iy)=u_{1}(x+iy)u_{2}(x+iy)=x^{2}\end{equation} erkennt.

Existiert zu einer in D harmonischen Funktion u eine in D harmonische Funktion v derart, daß die Funktion f : = u + iv holomorph in D ist, so heißt v eine zu u konjugiert harmonische Funktion. In diesem Fall ist v bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt, d. h. sind v₁ und v₂ konjugiert harmonische Funktionen zu u, so ist die Differenz v₁ − v₂ konstant. Über die Existenz konjugiert harmonischer Funktionen gilt folgender Satz.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet. Dann ist G einfach zusammenhängend genau dann, wenn zu jeder in G harmonischen Funktion u eine konjugiert harmonische Funktion v existiert.

Jede in D harmonische Funktion u ist also lokal (d. h. in jeder offenen Kreisscheibe B ⊂ D) als Realteil einer holomorphen Funktion f darstellbar. Hieraus folgt, daß u in D unendlich oft reell differenzierbar ist.

Harmonische Funktionen lassen sich mit Hilfe der sog. Mittelwerteigenschaft charakterisieren. <?PageNum _372Eine stetige Funktion u : D → ℝ besitzt die Mittelwerteigenschaft, falls für jede abgeschlossene Kreisscheibe \(\bar{B}_{r}(z_{0})\subset D\) mit Mittelpunkt z₀ ∈ D und Radius r > 0 gilt \begin{equation}u(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}u(z_{0}+re^{it})dt.\end{equation} Damit gilt folgender Satz.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und u : D → ℝ eine stetige Funktion. Dann ist u harmonisch in D genau dann, wenn u die Mittelwerteigenschaft besitzt.

Ähnlich wie für holomorphe Funktionen gilt auch für harmonische Funktionen ein Maximumprinzip.

(Maximumprinzip, 1. Version). Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und u eine in G harmonische Funktion. Weiter gebe es einen Punkt z₀ ∈ G mit u(z₀) ≥ u(z) für alle z ∈ G. Dann ist u eine konstante Funktion.

Zur Formulierung einer 2. Version wird der Begriff des erweiterten Randes ∂_∞G eines Gebietes G ⊂ ℂ benötigt. Dieser ist definiert durch ∂_∞G : = ∂G, falls G beschränkt ist und ∂_∞G := ∂G ⋃ {∞}, falls G unbeschränkt ist.

(Maximumprinzip, 2. Version). Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und u, v harmonische Funktionen in G. Weiter gelte für jeden Punkt ζ ∈ ∂_∞G\begin{equation}\mathop{\lim\sup}_{z\rightarrow \zeta}u(z)\leq \mathop{\lim\inf}_{z\rightarrow \zeta}v(z) \end{equation}Dann gilt entweder u(z) < v(z) für alle z ∈ G oder u(z) = v(z) für alle z ∈ G.

Hieraus erhält man als Folgerung:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und u eine in \(\bar{G}\)stetige und in G harmonische Funktion. Weiter gelte u(z) = 0 für alle z ∈ ∂G. Dann gilt u(z) = 0 für alle z ∈ G.

Da mit u auch −u eine harmonische Funktion ist, gilt auch ein Minimumprinzip.

(Minimumprinzip). Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und u eine in G harmonische Funktion. Weiter gebe es einen Punkt z₀ ∈ G mit u(z₀) ≤ u(z) für alle z ∈ G. Dann ist u eine konstante Funktion.

Für Funktionen, die im abgeschlossenen Einheitskreis \(\bar{\mathbb{E}}\) stetig und in E harmonisch sind, gilt die Poisson-Integralformel.

Weitere Stichworte, die im Zusammenhang mit harmonischen Funktionen stehen, sind Dirichlet-Problem in der Ebene, harmonisches Maß und Harnacksches Prinzip.