lautet:

Es sei f einemeromorphe Funktion in 𝔼 = { z ∈ ℂ : |z| < 1 }. Dann existieren drei disjunkte Borel-Mengen N_f ,P_f ,G_f ⊂ 𝕋 = ∂𝔼 mit 𝕋 = N_f ∪ P_f ∪ G_f und folgenden Eigenschaften:

1. Es ist N_f eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes auf 𝕋.
2. Für jedes ζ ∈ P_f und jedes offene Dreieck Δ ⊂ 𝔼 mit einer Ecke an ζ ist f(Δ) dicht in \(\hat{\rm{\mathbb{C}}}\), d. h. zu jedem \(a\,\in \,\hat{{\rm{{\mathbb{C}}}}}\)existiert eine Folge (z_n) in Δ mit f(z_n) → a (n → ∞).
3. Für jedes ζ ∈ G_f besitzt f einen endlichen Winkelgrenzwert an ζ.

Die Punkte mit der Eigenschaft (ii) heißen Plessner-Punkte von f, während man die Punkte mit der Eigenschaft (iii) Fatou-Punkte von f nennt. Ist f eine beschränkte holomorphe Funktion in 𝔼, so ist offensichtlich P_f = ∅. Daher impliziert der Satz von Plessner sofort den Satz von Fatou.

Ein Beispiel: Die Funktion \begin{eqnarray}f(z)\,:=\,\exp \left(\exp \,\frac{1}{1-z}\right)\end{eqnarray} ist holomorph in 𝔼 und besitzt an z = 1 einen Plessner-Punkt. Alle anderen Punkte von 𝕋 sind Fatou-Punkte von f.

Die Menge P_f der Plessner-Punkte einer meromorphen Funktion f in 𝔼 kann wie folgt charakterisiert werden. Es ist P_f stets eine G_δ-Menge, d. h. es existieren abzählbar viele offene Mengen U_n ⊂ 𝕋 mit \({P}_{f}=\displaystyle {\cap }_{n=1}^{\infty }{U}_{n}\). Ist umgekehrt E ⊂ 𝕋 eine G_δ-Menge, so existiert eine holomorphe Funktion f in 𝔼 mit P_f = E. Insbesondere gibt es holomorphe Funktionen f in 𝔼 mit P_f = 𝕋.