Koordinaten (r, φ) eines Punktes (x, y) ∈ ℝ² ≠ (0, 0), definiert durch den Abstand \(r:=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\gt 0\) von (x, y) zum Nullpunkt (0, 0) und den Winkel φ ∈ [0, 2π) zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl von (0, 0) durch (x, y). Es gilt also \begin{eqnarray}(x,y)=(r\cos \varphi ,i\sin \varphi ).\end{eqnarray}

Faßt man (x, y) als komplexe Zahlz = x + iy auf, so gilt \begin{eqnarray}z=r(r\cos \varphi ,i\sin \varphi ),\end{eqnarray} wobei r =|z| der Betrag von z und φ der Hauptwert des Arguments von z ist. Ist z = x + iy gegeben, so erhält man für den Winkel φ\begin{eqnarray}\varphi =\left\{\begin{array}{l}\arctan \frac{y}{x},x\gt 0,y\ge 0,\\ \pi +\arctan \frac{y}{x},x\lt 0,\\ 2\pi +\arctan \frac{y}{x},x\gt 0,y\lt 0,\\ \frac{\pi }{2},x=0,y\gt 0,\\ \frac{3\pi }{2},x=0,y\lt0.\end{array}\right.\end{eqnarray} Siehe auch Gaußsche Zahlenebene.