ein Element des Körpers ℂ der komplexen Zahlen.

Dieser Körper ist wie folgt definiert. Es sei ℂ die Menge aller geordneten Paare z = (x, y) ∈ ℝ × ℝ. In ℂ wird eine Addition durch \begin{eqnarray}({x}_{1},{y}_{1})+({x}_{2},{y}_{2}):=({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2})\end{eqnarray}

und eine Multiplikation durch \begin{eqnarray}({x}_{1},{y}_{1})\cdot ({x}_{2},{y}_{2}):=({x}_{1}{x}_{2}-{y}_{1}{y}_{2},{x}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{x}_{2})\end{eqnarray}

eingeführt. Die Addition entspricht der Vektoraddition im ℝ² und daher ist (ℂ, +) eine kommutative Gruppe. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ. Wegen \begin{eqnarray}(x,y)\cdot (1,0)=(x,y)\end{eqnarray}

ist (1, 0) das neutrale Element der Multiplikation. Ist z = (x, y) ≠ (0, 0), so ist das zu z multiplikative inverse Element gegeben durch \begin{eqnarray}{z}^{-1}=(\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}},\frac{-y}{{x}^{2}+{y}^{2}}).\end{eqnarray}

Schließlich gilt noch das Distributivgesetz und daher ist ℂ ein Körper.

Die Abbildung φ : ℝ → ℂ definiert durch φ(x) := (x, 0) ist injektiv. Weiter gilt φ(x₁ + x₂) = φ(x₁) + φ(x₂) und φ(x₁x₂) = φ(x₁) · φ(x₂), d. h. φ ist ein Körperisomorphismus von ℝ auf den Unterkörper φ(ℝ) von ℂ. Daher werden die reellen Zahlen mit den komplexen Zahlen der Form (x, 0) identifiziert, und man faßt ℝ als Teilmenge (Unterkörper) von ℂ auf. Weiter definiert man i := (0, 1) ∈ ℂ und nennt i die imaginäre Einheit von ℂ. Offensichtlich gilt i² = −1. Jede komplexe Zahl z = (x, y) besitzt eine eindeutige Darstellung z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0), und man schreibt daher kurz z = x + iy. In dieser Form schreiben sich Addition und Multiplikation wie folgt \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}({x}_{1}+i{y}_{1})+({x}_{2}+i{y}_{2}) & = & ({x}_{1}+{x}_{2})+i({y}_{1}+{y}_{2}),\\ ({x}_{1}+i{y}_{1})({x}_{2}+i{y}_{2}) & = & ({x}_{1}{x}_{2}-{y}_{1}{y}_{2} + i({x}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{x}_{2}).\end{array}\end{eqnarray}

Ist z ≠ 0, so gilt \begin{eqnarray}\frac{1}{z}={z}^{-1}=\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}-i\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}.\end{eqnarray}

Die Zahl Re z := x ∈ ℝ heißt Realteil und Im z := y ∈ ℝ Imaginärteil von z. Ist Im z = 0, so heißt z = x reell, und ist Re z = 0, so heißt z = iy rein imaginär.

Man veranschaulicht komplexe Zahlen geometrisch in der komplexen Zahlenebene, auch Gaußsche Zahlenebene genannt. Dazu faßt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem einen Punkt mit den Koordinaten (x, y) als komplexe Zahl z = x + iy auf. Die waagrechte Koordinatenachse repräsentiert dann den Unterkörper ℝ von ℂ und heißt reelle Achse, während man die senkrechte Koordinatenachse als imaginäre Achse bezeichnet. Die Addition komplexer Zahlen ist in diesem Bild gerade die Addition der Ortsvektoren nach der Parallelogrammregel. Die geometrische Interpretation der Multiplikation wird unter dem Stichwort Polarkoordinaten-Darstellung behandelt. Außerdem sei noch auf die Stichworte Argument Einer Komplexen Zahl, Betrag einer komplexen Zahl und konjugiert komplexe Zahl hingewiesen.

Die an 0 punktierte Ebene ℂ \{0} wird meist mit ℂ^∗ bezeichnet. Sie ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe, und zwar die multiplikative Gruppe des Körpers ℂ.

Eine andere Möglichkeit der Einführung der komplexen Zahlen besteht in der Betrachtung der Menge \(\mathcal{C}\) der Matrizen \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ll}x & -y\\ y & x\end{array}\right)\end{eqnarray}

mit x, y ∈ ℝ. Mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen wird dann \(\mathcal{C}\) zu einem Körper, der zum Körper ℂ isomorph ist. Das Einselement ist die Matrix \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ll}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right),\end{eqnarray}

und die imaginäre Einheit i wird durch \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ll}1 & -1\\ 0 & 1\end{array}\right)\end{eqnarray}

gegeben. Eine reelle Zahl x entspricht der Matrix \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ll}x & 0\\ 0 & x\end{array}\right).\end{eqnarray}

Im Gegensatz zu ℝ läßt sich der Körper ℂ nicht anordnen, denn in einem angeordneten Körper K gilt x² > 0 für jedes x ∈ K \{0}. Daher müßte für i ∈ ℂ gelten i² = −1 > 0, was nicht möglich ist. Eine Motivation zur Einführung komplexer Zahlen ist die Tatsache, daß z. B. das quadratische Polynom p(X) = X² + 1 ∈ ℝ[X] keine Nullstelle in der Menge der reellen Zahlen ℝ besitzt. In der Menge der komplexen Zahlen ℂ besitzt p(X) die beiden Nullstellen ±i. Algebraisch gesehen ist ℂ eine algebraische Körpererweiterung vom Grad 2 des Körpers ℝ und isomorph zum Zerfällungskörper des über ℝ irreduziblen Polynoms X² + 1 ∈ ℝ[X]. Schließlich ist ℂ in folgendem Sinne eindeutig bestimmt: Jede Körpererweiterung vom Grad 2 des Körpers ℝ ist isomorph zu ℂ.