abkürzend für sequentielle quadratische Programmierungsverfahren, also iterative Algorithmen zur Behandlung nicht-linearer Optimierungsprobleme.

Sie erfordern in jedem Iterationsschritt die Lösung gewisser quadratischer Programmierungsprobleme, welche das Ausgangsproblem modellieren. Damit stellen sie eine Verallgemeinerung des Newtonverfahrens dar.

Angenommen, wir suchen einen Minimalpunkt von f(x) unter den Nebenbedingungen \begin{eqnarray}x\in M:=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}\end{eqnarray} für endliche Indexmengen I, J. Die Funktionen f, h_i und g_j liegen alle in C²(ℝⁿ, ℝ). Man betrachte die notwendige Optimialitätsbedingung erster Ordnung (wobei λ und μ die aus den λ_i und μ_j gebildeten Vektoren bezeichnen): \begin{eqnarray}{D}_{x}L(x,\lambda, \mu):=Df(x)-\displaystyle \sum _{i\in I}{\lambda}_{i}\cdot D{h}_{i}(x)-\displaystyle \sum _{j\in {J}_{0}(x)}{\mu}_{j}\cdot D{g}_{j}(x)=0,{\mu}_{j}\ge 0,{\mu}_{j}\cdot {g}_{j}(x)=0,{h}_{i}(x)=0,{g}_{j}(x)\ge 0,\end{eqnarray} sowie die hinreichende Bedingung zweiter Ordnung (unter Annahme der Gültigkeit der linearen Unabhängigkeitsbedingung): Die Hesse-Matrix\begin{eqnarray}{D}_{xx}^{2}L(x,\lambda, \mu)={D}^{2}f(x)-\displaystyle \sum _{i\in I}{\lambda}_{i}\cdot {D}^{2}{h}_{i}(x)-\displaystyle \sum _{j\in {J}_{0}(x)}{\mu}_{j}\cdot {D}^{2}{g}_{j}(x)\end{eqnarray} ist positiv definit auf dem Tangentialraum [w ∈ ℝⁿ\{0}|Dh_i(x) · w = 0, Dg_j (x) · w = 0 für j ∈ J₀(x)}.

In ihrer reinsten Form arbeiten SQP-Verfahren wie folgt: Angenommen, es sind bereits Näherungen x^k, λ^k, μ^k für eine Lösung der Optimierungsaufgabe berechnet. Dann wird die Zielfunktion durch die quadratische Approximation \begin{eqnarray}{Q}_{k}(x)=DF{({x}^{k})}^{T}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot {x}^{T}\cdot {D}_{xx}^{2}L({x}^{k},{\lambda}^{k},{\mu}^{k})\cdot x\end{eqnarray} ersetzt. Zusätzlich werden die Nebenbedingungen linear approximiert, und man löst im (k + 1)-ten Schritt das quadratische Optimierungsproblem \begin{eqnarray}Q_k(x)\to \rm min\end{eqnarray} unter den Nebenbedingungen \begin{eqnarray}{h}_{i}({x}^{k})+D{h}_{i}({x}^{k})^T\cdot x=0,i\in I;\\ {g}_{j}({x}^{k})+D{g}_{j}({x}_{k})\cdot x\ge 0,j\in J.\end{eqnarray} Mit der Lösung d^k dieses Problems setzt man \begin{eqnarray}x^{k+1}:=x^k+d^k.\end{eqnarray} Die Lagrangeparameter werden ähnlich angepaßt (entweder durch Lösen eines analogen quadratischen Programmierungsproblems oder als zugehörige Multiplikatoren der gefundenen Lösung der vorhergehenden Iteration). Die Berechnung der Matrix \({D}_{xx}^{2}L({x}^{k},{\lambda}^{k},{\mu}^{k})\) wird häufig dadurch erspart, daß man diese Matrix approximiert. Dieser Zugang wird beispielsweise im BFGS-Verfahren (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno, Verfahren von) verfolgt.