Stone-Weierstraß, Satz von, Dichtheitssatz, der eine umfassende Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes über die Approximation stetiger Funktionen darstellt.

Es seien B ein kompakter Haussdorffraum und C(B) der Raum der stetigen Funktionen von B nach K = ℝ oder K = ℂ, versehen mit der Maximumnorm. Eine Unteralgebra \({\mathcal{A}}\) ⊂ C(B) (d. h. eine Menge, welche abgeschlossen hinsichtlich des punktweisen Produkts ist) separiert die Punkte von B, falls für alle b₁, b₂ ∈ B ein f ∈ \({\mathcal{A}}\) so existiert, daß f (b₁) ≠ f (b₂). Der folgende Satz wurde von M.H. Stone 1937 bewiesen.

Es sei \({\mathcal{A}}\) ⊂ C(B) eine Unteralgebra, welche die Punkte von B separiert und die konstante Funktion 1 enthält. Im Fall K = ℂ sei \({\mathcal{A}}\)zudem abgeschlossen unter komplexer Konjugation, d. h. mit ∈ \({\mathcal{A}}\)gelte auch \(\bar{f}\) ∈ \({\mathcal{A}}\).

Dann liegt \({\mathcal{A}}\)dicht in C(B).

Ein wichtiger Spezialfall des Satzes von Stone ist der Weierstraßsche Approximationssatz und Folgerungen daraus. Hierbei besteht \({\mathcal{A}}\) aus dem Raum aller Polynome bzw. trigonometrischen Polynome.