Lexikon der Mathematik: weiche Garbe
Begriff in der Garbentheorie.
Sei X ein komplexer Raum. Eine Garbe 𝒮 über X heißt weich, wenn für jede abgeschlossene Menge A ⊂ X die Einschränkungsabbildung 𝒮(X) → 𝒮(A) surjektiv ist, d. h. wenn jeder Schnitt über A zu einem Schnitt über ganz X fortsetzbar ist. Insbesondere ist die Strukturgarbe einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit weich.
Für Modulgarben hat man ein handliches Weichheitskriterium in Form einer Trennungsbedingung.
Es sei X metrisierbar und \( {\mathcal R} \)eine Garbe von Ringen (mit Eins) über X. Zu jeder in X abgeschlossenen Teilmenge A und jeder offenen Umgebung W ⊂ X von A gebe es einen Schnitt \(f\in {\mathcal R} (X)\), so daß gilt:
Dann ist jede \( {\mathcal R} \)-Modulgarbe \({\mathcal{S}}\)weich.
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