Corriger la chance
Frank und Mark knobeln gewöhnlich mit einer Münze, wer das Bier bezahlen soll ("Zahl oder Adler"). Eines Tages fällt Frank ein, dass er nur als Halbtagskraft bezahlt wird und Mark als Ganztagskraft (wie lange sie wirklich arbeiten, steht auf einem anderen Blatt), und er wünscht sich eine Verbesserung der Chance.
Mark bietet an: Wir knobeln mit drei Münzen zugleich, Frank mit zweien und Mark mit einer. Wenn Frank mehr Adler als Mark wirft, hat er gewonnen, sonst verloren. Damit alles ganz klar ist: Jede der Münzen hat auf genau einer Seite einen Adler.
Sind Franks Chancen nun besser oder gar schlechter als vorher? Wie ist es mit n und n+1 Münzen?
Zeichnen Sie ein unterteiltes Rechteck, dessen Teile proportional zu den Teil-Wahrscheinlichen sind.
Bei drei Münzen gibt es 8 gleich wahrscheinliche Fälle, von denen Frank in 4 Fällen mehr Adler als Mark hat. Es bleibt also bei der alten Chance.
Bei n und n+1 Münzen gibt es n·(n+1) derartige Fälle, aber wir werden es zu vermeiden wissen, sie alle einzeln zu betrachten.
Bei n Münzen kann die Zahl der Adler 0 bis n sein, beides ist eher selten, ungefähr halb so viele Adler wie Münzen kommen viel häufiger vor. Mit den Binomialkoeffizienten kann man das ausrechnen, aber nicht einmal das müssen wir hier tun. Wir müssen nur wissen, dass k Adler genau so oft zu erwarten sind wie k mal "Zahl", also n–k Adler. Die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die Zahlen von 0 bis n ist also in diesem Sinne symmetrisch.
Nun zeichen wir ein Rechteck, das in der einen Richtung gemäß den Adler-Ergebnissen des einen und quer dazu nach denen des anderen Spielers aufgeteilt ist. Dieses Bild ist zwar maßstäblich, aber wir brauchen nur zu wissen, dass die Teilungslinien aus dem erwähnten Grund eine waagerechte und eine senkrechte Symmetrieachse haben.
Die Färbung gibt nun an, wer gewonnen hat: der mit der um 1 größeren Zahl von Münzen muss zum Gewinnen mindestens einen Adler mehr haben als der andere. Die Grenze ist also eine Treppenkurve. Zusammen mit der schon beschriebenen Symmetrie ergibt das folgende Eigenschaft: Dreht man das Rechteck um seinen Mittelpunkt um eine halbe Drehung, so vertauschen sich überall die Farben, die Chance ist also 1/2.
Frank hat also eine Münze mehr als Mark, aber er muss ja auch mindestens einen Adler mehr werfen, und bei gleicher Adler-Anzahl verliert er nach der Spielregel und kann sich nicht auf Unentschieden berufen. Offenbar gleicht sich das genau aus. Wenn man die Chance von Frank wirklich verbessern will, muss man die Regel entsprechend abändern, etwa dahin, dass bei gleicher Adler-Anzahl neu geworfen wird:
Bei 1 + 2 Münzen geht die Sache in 3/8 der Fälle dann unentschieden aus, und Frank gewinnt in 4 der verbleibenden 5 Fälle, also in 80%. Das kann sich schon sehen lassen.
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