Denken Sie an die Seitenhalbierenden im Dreieck.

Die andere Diagonale zerlegt das Parallelogramm (und also erst recht das Quadrat) in zwei deckungsgleiche Dreiecke, deren Schwerpunkte die fragliche Diagonale des Vierecks dritteln.

Nun sind die Diagonalen im einem Viereck aber nicht dazu verpflichtet, sich gegenseitig zu halbieren, und so gilt der Satz nicht allgemein:

Andererseits sind alle Vierecke, in denen beide Diagonalen sich gegenseitig halbieren, Parallelogramme, das folgt aus der Rotations-Symmetrie.

Es genügt auch nicht, dass nur eine Diagonale von der anderen in zwei gleiche Teile zerlegt wird, wie man vermuten könnte (dieser Nebensatz soll dezent herunterspielen, dass ich es einige Minuten lang geglaubt hatte, genau genommen, bis mich der Computer mit dem zugehörigen Bild zur Wahrheit bekehrte).

Übrigens ist die Formulierung der Frage "warum bzw. warum nicht" ironisch gemeint: Zwischen mathematischen Aussagen gibt es keine Kausalitäts-Beziehungen, wie es sie in den Naturwissenschaften zu geben scheint, jedenfalls wenn man die üblichen Formulierungen ernst nimmt ("die Waage zeigt richtig an, weil das Hebelgesetz gilt"). Gemeint ist zumindest in der Mathematik: Wie kann man zeigen, dass etwas immer gilt, oder dass es in mindestens einem Fall nicht gilt, also nicht immer?