Hemmes mathematische Rätsel: Crux Numerorum

Füllen Sie die Felder mit römischen Ziffern, wobei möglichst viele der dadurch entstehenden gültigen Zahlen Quadrat- oder Kubikzahlen ergeben.

Das heutige Rätsel habe ich mir 2009 ausgedacht.

In jedes Feld dieses 4×4-feldigen Crux Numerorums soll entweder ein I, ein V, ein X, ein L, ein C, ein D oder ein M gesetzt werden, so dass die vier Zeilen und die vier Spalten jeweils gültige römischen Zahlen ergeben.

So wäre beispielsweise MXII eine mögliche Zeile oder Spalte, IMID jedoch nicht. Auf den Zifferblättern mancher Uhren ist die Vier als IIII dargestellt; das ist bei dieser Aufgabe nicht erlaubt. Eine zweite Bedingung ist, dass möglichst viele der acht Zahlen Quadrat- oder Kubikzahlen sein sollen. Wie könnte das gefüllte Crux Numerorum aussehen? Wie viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten gibt es?

Die kleinstmögliche vierstellige römischen Zahl ist VIII = 8 und die größtmögliche MMMM = 4000. In diesem Bereich liegen nur drei Quadratzahlen, die in römischer Schreibweise vierstellig sind: 49 = 7² = XLIX, 64 = 8² = LXIV und 121 = 11² = CXXI.

Kubikzahlen, die diese Bedingung erfüllen, gibt es vier: 8 = 2³ = VIII, 64 = 4³ = LXIV, 125 = 5³ = CXXV und 512 = 8³ = DXII. Dabei ist 64 sowohl eine Quadrat- als auch eine Kubikzahl, so dass es insgesamt nur sechs mögliche Kandidaten gibt.

Durch systematisches Probieren findet man nun schnell, dass sich höchstens sechs Quadrat- und Kubikzahlen in dem Raster unterbringen lassen. Teilweise sind die Zahlen gleich, aber das war in der Aufgabe nicht verboten worden. Insgesamt gibt es vier verschiedene Lösungen.