Die Treppe des Teufels
Eine bemerkenswerte Kurve, die überall stetig und nur in unendlich vielen Teilintervallen differenzierbar (also ohne Knicke) ist, ist die Teufelstreppe:
Sie kann nur (wie andere Fraktale auch) in immer feineren Näherungen konstruiert werden. Dazu teilt man das Quadrat (und in späteren Schritten jeweils ein Rechteck) mit einer Halbierung der Höhe und einer Drittelung der Breite in 6 gleiche Rechtecke. Die Waagerechte zwischen den mittleren beiden Sechsteln wird als endgültig zu einem Teil der Kurve gehörig erklärt, die Diagonalen des linken unteren und die des rechten oberen zu vorläufigen Teilen, so dass sich ein Geradenzug zwischen der linken unteren und der rechten oberen Ecke des ganzen Quadrats ergibt.
Im nächsten Schritt werden nun die beiden Rechtecke links unten und rechts oben in gleicher Weise in 6 Teile geteilt, und die Diagonalen werden durch Züge aus drei Strecken (zwei neuen Diagonalen und in der Mitte einer Horizontalen) ersetzt. Das wird dann immer so fortgesetzt, so genau wie man zeichnen will, in Gedanken aber unendlich oft.
Nun zwei Fragen:
- Wie lang ist sie?
- Ist sie selbstähnlich, d.h. sind (auch beliebig kleine) Teile von ihr ähnlich zum Ganzen?
Je feiner man das Ding macht, um so steiler werden die diagonale Stücke, sie addieren sich dann zur Höhe des ganzen Quadrats, und die waagerechten Stücke zur gesamten Breite. Die Kurve ist im Grenzfall so lang wie Höhe und Breite der ganzen Figur zusammen (also bei unserem Quadrat wie die doppelte Quadratseite).
Bemerkenswert ist, dass die Kurve überhaupt eine endliche Länge hat, obwohl sie doch ein Fraktal ist. Obwohl das Wort "Fraktal" auf eine nicht-ganzzahlige Dimension hinweist, haben wir es hier mit der (fraktalen!) Dimension 1 zu tun.
Das Rezept zeigt schon, dass die Kurve nicht ähnlich zu Teilen von ihr ist, denn die Rechtecke, die so behandelt werden wie das ganze Quadrat, werden ja von einem Näherungssschritt zum nächsten schlanker im Verhältnis zu ihrer Breite, die Abbildung ist also keine Ähnlichkeits-Abbildung, sondern nur eine affine. Die Kurve ist somit nicht selbstähnlich, sondern nur selbst-affin.
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