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Dreiecke für Oktaeder

Treitz-Rätsel

Für eine Mathematik-Ausstellung soll ein Oktaeder gebaut werden, und ein Schüler, von dem man hofft, dass er wenigstens handwerklich etwas drauf hat, soll dazu 8 gleiche Dreiecke aussägen. Leider vergisst der Lehrer hinreichend deutlich zu sagen, dass diese gleichseitig sein sollen, und prompt bekommt er 8 deckungsgleiche Dreiecke, die aber nicht gleichseitig sind. Unter welchen Bedingungen kann man diese zu einem Oktaeder zusammenbauen?

Unterscheiden Sie auch, ob die Dreiecke von beiden Seiten verwendbar sind oder nicht.

Die Dreiecke müssen auf jeden Fall spitzwinklig sein. Wenn sie von beiden Seiten verwendbar sind (oder wenn 4 von ihnen spiegelbildlich-deckungsgleich zu den anderen 4 sind), kann man aus ihnen ein Oktaeder bauen, das die Symmetrie eines Quaders hat und damit 3 Diagonalen, die sich im gemeinsamen Schnittpunkt rechtwinklig treffen, aber verschieden lang sein dürfen.

Andersherum ist es einfacher einzusehen: Man nehme einen Quader und verbinde die Mittelpunkte benachbarter Flächen durch Kanten. Dabei entstehen acht Dreiecke, die sich zu einem (unregelmäßigen) Oktaeder fügen. Jedes von ihnen hat dieselben drei (im Allgemeinen unterschiedlich langen) Seiten. Es gibt "linke" (Seitenfolge abc) und "rechte" Dreiecke (Seitenfolge cba), und es grenzt stets ein linkes an ein rechtes Dreieck und umgekehrt.

Haben die einander deckungsgleichen Dreiecke hässliche Rückseiten (und sind nicht paarweise spiegelbildlich geschnitten), so sollten sie besser gleichschenklig (und immer noch spitzwinklig) sein. Im Oktaeder sind dann zwei Diagonalen gleich lang.

Für ein reguläres Oktaeder braucht man natürlich gleichseitige Dreiecke.

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