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Goldenes Dach

Treitz-Rätsel

Das Längenverhältnis aus Diagonale und Kante des regelmäßigen Fünfecks wird als "goldener Schnitt" \(g\) bezeichnet (Schnitt wegen einer Anwendung bei der Teilung einer Strecke). Was für ein Polyeder gibt es, wenn man auf die Flächen eines Würfels mit der Kantenlänge \(k\) Dächer setzt, die aus je zwei Dreiecken mit den Seiten \(k\), \(k/g\) und \(k/g\) und aus zwei Trapezen mit den Seiten \(k\), \(k/g\), \(k/g\) und \(k/g\) bestehen, und sie so orientiert, dass an den Würfelkanten je ein Trapez und ein Dreieck zusammenstoßen?

Bestimmen Sie den Parallelenabstand im Trapez und daraus die Koordinaten und die Abstände der neuen Ecken von der Würfelmitte.

Die Koordinaten der 12 neuen Ecken haben die Werte \(\pm k \cdot g\), \(\pm k/g\) und 0, die der 8 alten Ecken natürlich allesamt 0, 0 und \(\pm 1\) (jeweils in irgendeiner Reihenfolge). Mit den Eigenschaften \(g^2=1+g\) und \(1/g = g – 1\) der Zahl \(g = (1 + \sqrt{5})/2 \) kann man leicht ausrechnen, dass alle 20 Ecken gleich weit vom Würfelmittelpunkt entfernt sind.

Zusammen mit der gegebenen Voraussetzung, dass die aus Dreiecken und Trapezen entstehenden Fünfecke gleichseitig sind, folgt daraus nun, dass sie auch ebene regelmäßige Fünfecke sind. Das ganze Polyeder ist also das (Pentagon-) Dodekaeder, eines der 5 regulären Polyeder.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Ohne den goldenen Schnitt bekommt man dagegen ein konvexes oder konkaves Polyeder aus den 12 Dreiecken und 12 Trapezen:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wenn Ihnen die Bezeichnung "goldener Schnitt" zu poetisch und zu sehr mit unbewiesener Kunst-Dogmatik belastet erscheint und wenn Sie nicht einsehen, warum eine Verhältniszahl als "Schnitt" bezeichnet wird, denken Sie doch einfach "Fünfeckzahl". Doch leider ist dieses schöne und passende Wort schon für etwas viel weniger Wichtiges verbraucht, nämlich die Zahlen der arithmetischen Folge 1 5 12 22 ...

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