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Hemmes mathematische Rätsel: Heron im Krähennest

Heron blickt vom Krähennest seines Schiffs aus auf einen Leuchtturm auf Pharos. Wie weit ist er davon entfernt?
Sturm an der Küste

2019 stellte Gerd Ehrhardt aus Aachen den Leserinnen und Lesern der »Aachener Nachrichten« und der »Aachener Zeitung« folgende Aufgabe.

Der griechische Mathematiker und Ingenieur Heron lebte im 1. Jahrhundert n. Chr. und lehrte am Museion in der ägyptischen Metropole Alexandria. Eines Tages segelte Heron von Kreta nach Alexandria. In 10 Fuß Höhe über dem Meeresspiegel schaute er von seinem Krähennest aus in Richtung der Insel Pharos. Auf ihr stand der gleichnamige Leuchtturm, dessen Feuer 440 Fuß über dem Meeresspiegel brannte. Als es am Horizont sichtbar wurde, berechnete Heron, wie weit es von ihm entfernt war.

Er wusste, dass die Erde eine Kugel ist, deren Umfang von Eratosthenes zu 250 000 Stadien bestimmt wurde, und er kannte von Archimedes die Kreiszahl π ≈ 22/7. Wie viele Stadien war Heron vom Leuchtfeuer entfernt? Ein Stadion hat 600 Fuß.

Das Schiff des Heron und die Insel Pharos befinden sich auf einem Großkreis mit dem Radius R, der sich aus dem Erdumfang U = 250 000 Stadien zu R = U/(2π) ≈ 39 800 Stadien berechnen lässt.

Die Höhen h des Heron und H des Feuers über dem Meeresspiegel sind laut Aufgabe h = 10/600 Stadien und H = 440/600 Stadien. Das obere rechtwinklige Dreieck hat die Hypotenuse R + h und die Katheten R und s, wobei s der Abstand Herons vom Horizont ist. Aus dem Satz des Pythagoras s2 + R2 = (R + h)2 folgt s = √(2Rh + h2) ≈ 36 Stadien.

Analog kann man den Abstand des Feuers zum Horizont zu S = √(2RH + H2)  ≈ 242 Stadien berechnen. Die gesuchte Entfernung Herons vom Feuer ist somit s + S ≈ 278 Stadien. Das sind, da ein Stadion etwa 192 m hat, etwa 53 km.

Der Leuchtturm Pharos war das siebte Weltwunder der Antike, und sein Leuchtfeuer soll über 50 km weit sichtbar gewesen sein. Er war bis ins 20. Jahrhundert der höchste Leuchtturm, der je gebaut wurde. Errichtet wurde er von Sostratos von Knidos von etwa 299 bis 279 v. Chr. im Auftrag von Ptolemaios I. Das Monument wurde durch mehrere Erdbeben zwischen den 4. und dem 14. Jahrhundert völlig zerstört. Aus seinen Steinen erbauten die Mameluken im 15. Jahrhundert eine Festung, die noch heute steht.

Heron im Krähennest

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