Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist das Verhältnis?
© Heinrich Hemme (Ausschnitt)
Im Quadrat ABCD trifft die Halbierende des Winkels CAD im Punkt E auf die Seite CD und die Halbierende des Winkels DBA im Punkt F auf die Diagonale AC. In welchem Verhältnis steht die Fläche des roten Dreiecks ACE zur Fläche des gelben Dreiecks ABF?
Da die beiden Diagonalen AC und BD mit den Seiten des Quadrats Winkel von 45° einschließen, sind die beiden Winkel CAE und FBA 22,5° groß. Somit haben das rote und das gelbe Dreieck gleiche Winkel und sind folglich ähnlich. Die längste Seite AC des roten Dreiecks ist das √2-Fache der längsten Seite des gelben Dreiecks. Folglich stehen ihre Flächeninhalte im Verhältnis (√2)2 : 12 oder 2 : 1.
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