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Zwischen Rom und Venedig

Treitz-Rätsel

Der Papst sendet einen Legaten nach Venedig, der für die ganze Strecke genau 7 Tage braucht (und erstaunlich gleichmäßig vorankommt!). Die Serenissima sendet ihm einen Botschafter entgegen, der zur gleichen Zeit startet und für den ganzen Weg 9 Tage braucht (ebenfalls ganz gleichmäßig). Wann treffen sich beide?

Ein grafischer Fahrplan ist hier sehr lehrreich.

Die Geschwindigkeiten verhalten sich wie 9:7, die Teilstrecken daher ebenfalls. Beide treffen sich also bei 9/16 des Gesamtweges. Daraus kann man ausrechnen, dass sie sich nach 63/16 Tagen treffen.

Man findet das aber noch eleganter aus dem Bild: Die Parallele im Trapez durch den Schnittpunkt der Diagonalen ist wegen der beiden grünen Dreiecke, die zueinander ähnlich sind (hier im linearen Verhältnis 7:9) das harmonische Mittel 2\(\cdot\)7\(\cdot\)9/(7 + 9) Tage (also der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte), die Hälfte davon ist also die gesuchte Zeit.

Einleuchtender wäre die Aufgabe etwa bei Schiffen, die sich mit und gegen die Strömung auf einem Fluss begegnen, aber diese Verkehrsmittel hatte der Auto der Aufgabe vor über 500 Jahren wohl nicht im Sinn (vgl. Wells, Puzzles, Nr. 94).

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