Spätestens seit »The Big Bang Theory« sind nerdige Witze in Sitcoms keine Seltenheit mehr. Selbst in den »Simpsons« gibt es immer wieder Anspielungen auf mathematische Spielereien. Doch »Futurama« hat das Zusammenspiel von Unterhaltungsfernsehen und Wissenschaft auf die Spitze getrieben: Um der Handlung in der Folge »Im Körper meines Freundes« einen ganz besonderen Spannungsbogen zu verleihen, mussten die Autoren einen mathematischen Beweis führen. Der Produzent der Serie David X. Cohen, der früher auch Autor für die »Simpsons« war, kann sich einer gewissen Ironie nicht verwehren: Im Fernsehen gelte die Regel, dass Unterhaltung stets Wissenschaft übertrumpft, erklärt er, aber in diesem speziellen Fall habe man ein mathematisches Theorem um der Unterhaltung willen verfasst.

Dabei fängt die Geschichte recht harmlos an: Der geniale Professor Farnsworth erfindet eine Maschine, die den Geist zweier Personen vertauschen kann. Und schnell hat er sein erstes Opfer, um den Apparat mit ihm zu testen: Die attraktive Amy ist bereit, ihre Gestalt mit Farnsworth zu tauschen. Seine Intention ist klar; er freut sich darauf, bald schon wieder in einem jungen Körper zu stecken. Doch auch Amy hat Hintergedanken. Als Professor kann sie endlich so viel essen wie sie will – ohne auf ihre Figur achten zu müssen.

Nachdem der Wechsel vollzogen ist, erkennen sie mit Erschrecken, dass sich die Verwandlung nicht ohne Weiteres umkehren lässt. Denn das Gerät funktioniert für jede Paarung von Körpern nur einmal. Und so kommt es, dass sich auch die anderen Figuren der Serie einmischen: Insgesamt nutzen sie die Maschine siebenmal. Körper und Geist von insgesamt neun Figuren werden dabei so wild durcheinandergewürfelt, dass einem schwindelig wird. Es ist nicht immer einfach, der Handlung zu folgen und zu erkennen, wer gerade wer ist.

Die Protagonisten verfolgen bei ihren Verwandlungen die abstrusesten Motive: Der Roboter Bender möchte bei Kaiser Nikolai einbrechen und nimmt dafür Amys Gestalt an, um die Wachen zu verführen; Leela schlüpft in das Äußere des Professors, um herauszufinden, ob Fry sie nur wegen ihres Aussehens liebt; um sich zu rächen, will auch Fry hässlich sein und tauscht seinen Körper mit dem Alien-Hummer Dr. Zoidberg …

Wie komme ich zurück in meinen Körper?

Nach all dem Wirrwarr wollen die Charaktere aber wieder in ihren eigenen Körper zurückkehren. An diesem Punkt der Geschichte geriet einer der Autoren von »Futurama«, Ken Keeler, plötzlich ins Stocken. Nun musste er es irgendwie schaffen, die Figuren zu entwirren, ohne dass zwei gleiche Personen mehrmals die Maschine nutzen – die Paare müssen sich immer unterscheiden. Keeler war klar, dass er neue Personen in die Folge einführen musste, um das Problem zu lösen. Doch wie viele sollten das sein? Da Keeler in Mathematik promoviert hatte, stellte er sich der anspruchsvolleren Frage: Wie viele Extrapersonen braucht man, um das Körpertauschproblem mit n Figuren zu entwirren?

Zu diesem Zeitpunkt hatte er keinen Anhaltspunkt, wie eine Lösung aussehen könnte. Die Anzahl der zusätzlich eingeführten Personen könnte mit der Größe n der Gruppe wachsen – oder konstant sein. In der Fachliteratur schien es noch keine Antwort darauf zu geben, also machte sich Keeler selbst daran, die Aufgabe zu lösen. Dabei fühlte er sich in seine Studentenzeit zurückversetzt, als er stundenlang über Gruppentheorie grübelte. Nach einigem Kopfzerbrechen fand er schließlich einen Beweis: Zwei weitere Charaktere genügen, um die verfahrene Situation aufzulösen – unabhängig davon, wie viele Leute ihre Körper getauscht haben.

Lösung in Sicht!

Wer wäre in der Serie besser geeignet, den Protagonisten aus der Patsche zu helfen, als die »Globetrotters«: Talentierte Basketballspieler mit brillanten wissenschaftlichen Fähigkeiten. Bewundernd beobachtet Professor Farnsworth im Körper von Bender, wie zwei der Spieler, Sweet Clyde und Bubblegum Tate, das Problem an einer Tafel lösen. Am Ende steht dort Keelers Beweis – für alle Zuschauer erstmals bei der Ausstrahlung am 19. August 2010 sichtbar. Wenn das mal nicht Open-Source ist.

Keeler abstrahierte das Problem, indem er sich n Objekte vorstellte, die in der falschen Reihenfolge angeordnet sind, etwa (2, 3, 4, 5, …, i, i+1, …, n, 1). Ziel ist es, die Menge (1, 2, 3, … , n) wiederherzustellen, indem man die Objekte paarweise mit zwei neuen Elementen x und y vertauscht. Einen solchen Tausch kann man durch (i, x) notieren; i und x wechseln dann ihre Positionen. Man hat also eine neue Menge (2, 3, 4, 5, …, i, i+1, …, n, 1, x, y).

Keeler fand heraus, dass man zunächst die Menge unterteilen: in eine, die von 1 bis i läuft, und eine andere, die von i+1 bis n geht. Dann vertauscht man jedes falsch platzierte Element der ersten Menge mit x und jedes der zweiten Sammlung mit y. Ganz am Ende wechselt man noch x mit i+1 und y mit 1 aus: (1, x)(2, x) (3, x)... (i, x) · (i+1, y) (i+2, y) … (n, y) · (i+1, x) · (1, y). Unabhängig davon, wie man i gewählt hat, landet man nach diesen Vertauschungen bei einer geordneten Menge (ohne Beachtung von x und y): (1, 2, 3, … , i, i+1, …, n). Tatsächlich spielt es dabei auch keine Rolle, auf welche Art die Objekte ursprünglich angeordnet waren. Die Methode funktioniert immer.

Um den Beweis von Keeler in Aktion zu sehen, kann man die »Futurama«-Folge heranziehen. Dazu muss man zunächst die Ausgangssituation in einer Tabelle festhalten, um einen Überblick zu erhalten, wer im Körper von wem steckt. In der Grafik entsprechen Kreise dem Geist einer Person und Rechtecke dem Äußeren:

Wie man sieht, kann man Fry und Dr. Zoidberg von den anderen Charakteren abgrenzen, da sie nicht mit den anderen Personen zusammenhängen. Somit lassen sich beide Gruppen getrennt voneinander betrachten. Nun kann man mit Hilfe von Sweet Clyde und Bubblegum Tate versuchen, den jeweiligen Geist der beiden Figuren wieder mit ihrem Körper zu vereinen.

Fry und Dr. Zoidberg vertauschen

Für Dr. Zoidberg und Fry sind nach obiger Anleitung vier Schritte nötig. Wenn man ihre falsche Zusammensetzung abstrakt durch (2, 1) ausdrückt, erhält man mit Clyde (x) und Tate (y) folgende Menge: (2, 1, x, y). Da es nur zwei Objekte gibt, muss i = 1 sein. Nach Keelers Rezept sind also folgende Vertauschungen nötig: (1, x), (2, y), (2, x) und (1, y). Wenn man sie nacheinander ausführt, verändert sich die Menge wie folgt: (2, x, 1, y), (y, x, 1, 2), (y, 2, 1, x), (1, 2, y, x). Anschaulich ausgedrückt:

Nur Sweet Clyde und Bubblegum Tate haben am Ende dieser Prozedur noch nicht ihren eigenen Körper zurück. Theoretisch könnten sie in die Maschine steigen und tauschen (als Paar haben sie das Gerät nämlich noch nicht benutzt). Doch damit sollte man warten, da sich beide noch um die sieben anderen Charaktere kümmern müssen. In ganz ähnlicher Weise führen Clyde und Tate die Tauschprozedur mit den übrigen Figuren aus »Futurama« durch. Hierfür brauchen sie mit Keelers Methode neun Schritte. Am Ende steckt jeder Geist in seinem eigenen Körper – auch die Globetrotter.

Keeler freute sich zwar über sein Ergebnis, sah es allerdings nicht als bedeutend genug an, um es zu veröffentlichen – zumindest außerhalb von »Futurama«. Das übernahmen jedoch Ron Evans, Lihua Huang, and Tuan Nguyen von der University of California, San Diego, für ihn: 2014 erschien in »The American Mathematical Monthly« eine zwölfseitige Ausführung seines Beweises. Zumindest eines dürfte Keeler freuen: »Futurama« ist bisher die einzige TV-Serie, in der ein noch ungelöstes mathematisches Problem präsentiert und gleichzeitig bewiesen wurde – und dem Unterhaltungswert hat es keinen Abbruch getan.

Was ist euer Lieblingsmathetheorem? Schreibt es gerne in die Kommentare – und vielleicht ist es schon bald das Thema dieser Kolumne!