zentraler Satz der lokalen Banachraumtheorie und der Konvexgeometrie über die Existenz fast sphärischer Schnitte konvexer Körper.

In der Sprache der Funktionalanalysis lautet der Satz:

Zu jedemϵ > 0 existiert eine Konstantec(ϵ) > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist E ein n-dimensionaler normierter Raum und k = [c(ϵ) log n], so existiert ein k-dimensionaler Unterraum F von E, der (1 + ϵ)-isomorph zum Hilbertraumℓ²(k) ist; d. h. für den Banach-Mazur-Abstand gilt

\begin{eqnarray}d(F,{\ell }^{2}(k))\le 1+\varepsilon.\end{eqnarray}

Insbesondere enthält jeder unendlichdimensionale Banachraum für jede Dimension k eine (1 + ϵ)-isomorphe Kopie des Hilbertraums l²(k) als Unterraum; in der Theorie der endlichen Darstellbarkeit von Banachräumen bedeutet das, daß l² in jedem unendlichdimensionalen Banachraum endlich darstellbar ist.

Im allgemeinen ist ein k, zu dem ein (1 + ϵ)-Hilbertscher Teilraum existiert, nur von der Größenordnung log n wählbar, z.B. für E = l^∞’(n); bessere Abschätzungen wurden von Figiel, Linden-strauss und Milman für Räume endlichen Kotyps bewiesen (Typ und Kotyp eines Banachraums). Hat nämlich E Kotyp q mit der Kotypkonstanten C_q(E), so kann man im Satz von Dvoretzky sogar

\begin{eqnarray}k=[c^{\prime}(\varepsilon ){n}^{2/q}/{C}_{q}{(E)}^{2}]\end{eqnarray}

Der Satz von Dvoretzky kann äquivalent in der Sprache der Konvexgeometrie formuliert werden. Dann lautet er wie folgt:

Zu jedemϵ > 0 existiert eine Konstantec(ϵ) > 0 mit folgender Eigenschaft: IstK ⊂ ℝⁿein konvexer symmetrischer Körper und k = [c(ϵ) log n], so existiert ein k-dimensionaler (1+ϵ)-euklidischer Schnitt von K, d. h. es existieren ein k-dimensionaler Unterraum F von ℝⁿund ein Ellipsoid C in F mit

\begin{eqnarray}C\subset K\cap F\subset (1+\varepsilon )C.\end{eqnarray}

[1] Milman,V.D.; Schechtman,G.: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1986.