die Gruppe der Nebenklassen einer Gruppe.

Praktisch wird dieser Begriff nur dann verwendet, wenn die Gruppenoperation als Multiplikation geschrieben wird. Die Gruppenoperation wird hier mit dem Symbol „·“ bezeichnet.

Seien G eine Gruppe und N ⊂ G ein Normalteiler. Dann ist die Menge G/N der Nebenklassen von G bezüglich N eine Gruppe, die Faktorgruppe genannt wird.

Eine Untergruppe U ∈ G heißt Normalteiler, wenn jede Linksnebenklasse gU ={g · u | u ∈ U} zugleich die Rechtsnebenklasse Ug ={u · g | u ∈ U} ist. Für diesen Fall werden Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen einfach als Nebenklassen bezeichnet.

Die Gruppenoperation in der Faktorgruppe wird durch die Vorschrift gN · fN = (g · f)N definiert, dabei sind f und g Elemente von G. Aus der Kenntnis von Normalteiler und Faktorgruppe läßt sich die Ausgangsgruppe wieder rekonstruieren, sodaß zur Klassifikation von Gruppen lediglich die einfachen Gruppen behandelt werden müssen.

Es gilt: Die Projektion ϕ : G → G/N ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern gerade der Normalteiler N ist. Dabei ist der Kern der Abbildung das Urbild ϕ⁻¹(e) des neutralen Elements e ∈ G/N. Auf dieser Basis gibt es auch einen anderen Zugang zu dieser Begriffsbildung: Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn sie der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist.