Lexikon der Mathematik: Grundlösung
Funktion g :[a, b]×[a, b] → ℝ, die für die auf dem Intervall [a, b] gegebene homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
- 1) Zu g(x, ξ) existieren in jedem der beiden Dreiecke a ≤ x ≤ ξ ≤ b und a ≤ ξ ≤ x ≤ b die partiellen Ableitungen nach x bis zur einschließlich n-ten Ordnung, diese Ableitungen sind in jedem der beiden Dreiecke stetige Funktionen von x und ξ.
- 2) g(x, ξ) ist als Funktion von x in jedem der beiden Dreiecke eine Lösung der homogenen Differential-gleichung (1).
- 3) g(x, ξ) ist auf dem gesamten Quadrat [a, b] × [a, b] stetig und (n − 2)-mal nach x differenzierbar, diese Ableitungen sind auf dem gesamten Quadrat stetige Funktionen von x und ξ.
- 4) Auf der Diagonalen macht die (n − 1)-te Ableitung von g(x, ξ) nach x einen Sprung der Größe \(\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\), d. h. für a< x< b ist
\begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)\,-\,\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)=\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\,.\end{eqnarray}
Ist g eine Grundlösung der homogenen Gleichung (1), dann ist
Zu jeder homogenen linearen Differentialgleichung existiert eine Grundlösung. Aus einem Fundamentalsystemy1, …, yn der Differentialgleichung (1) und der zugehörigen Wronski-DeterminanteW ist eine Grundlösung von (1) gegeben durch:
Für diese spezielle Grundlösung gilt
Alle Grundlösungen von (1) sind dann mit stetigen Funktionen ci von der Form
[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.
[2] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
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