ein klassisches orthogonales Polynomsystem auf ℝ bezüglich der Gewichtsfunktion \(\omega (x)={e}^{-{x}^{2}}\), mit zahlreichen Anwendungen in der Physik.

Die Hermite-Polynome H_n, n ≥ 0, sind durch die Rodrigues-Formel \begin{eqnarray}{H}_{n}(x)={(-1)}^{n}{e}^{{x}^{2}}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}{e}^{-{x}^{2}}\end{eqnarray} definiert. Eine explizite Darstellung ist durch \begin{eqnarray}{H}_{n}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{(-1)}^{k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}{(2x)}^{n-2k}\end{eqnarray} gegeben. Die Hermite-Polynome lösen die Differentialgleichung \begin{eqnarray}{H}_{n}^{^{\prime\prime} }-2x{H}_{n}^{^{\prime} }+2n{H}_{n}=0.\end{eqnarray} Es gilt die Rekursion H₀(x) = 1 und \begin{eqnarray}{H}_{n+1}=2x{H}_{n}-2n{H}_{n-1}.\end{eqnarray} Für eine andere Bedeutung des Begriffs Hermite-Polynom siehe auch Hermite-Interpolation.