ein linearer Differentialoperator δ erster Ordnung auf dem Raum Λ(M) aller Differentialformen einer Riemannschen MannigfaltigkeitM.

Es sei n die Dimension, g die Riemannsche Metrik von M, Λ^p(M), (0 ≤ p ≤ n), der Raum der Differentialformen der Stufe p. Wir setzen voraus, daß eine Volumenform auf M und ω ∈ Λ^p(M) mit g(ω, ω) = 1 gewählt wurde, z. B. \begin{eqnarray}\omega =\sqrt{\det ({g}_{ij})}d{x}^{1}\wedge \ldots \wedge d{x}^{n}\end{eqnarray} wenn g positiv definit und M orientiert ist.

Die Riemannsche Metrik g kann als linearer Isomorphismus g : T(M) → T*(M) des Bündels T(M) der Tangentialvektoren auf das Bündel T*(M) der dualen Tangentialvektoren angesehen werden, der nach den Regeln für das Rechnen mit Differentialformen einen Isomorphismus g^(p) : Λ^pT(M) → Λ^pT*(M) der Räume der Differentialformen p-ter Stufe auf den Raum der Felder von p-Vektoren.

Um die Definition der Hodge-Ableitung angeben zu können, benötigt man zunächst den Sternoperator von Hodge. Ist α_p ∈ Λ^p (M) und u_p das<?PageNum _419p-Vektorfeld \({u}_{p}={({g}^{(p)})}^{-1}({\alpha }_{p})\), so ist dieser als lineare Abbildung * : Λ^p (M) → Λ^{n − p} (M) durch die Gleichung \begin{eqnarray}* \alpha ({\mathfrak{t}},\ldots, {{\mathfrak{t}}}_{n-p})=\omega ({u}_{p}\wedge {{\mathfrak{t}}}_{1}\wedge \ldots \wedge {{\mathfrak{t}}}_{n-p})\end{eqnarray} definiert, wobei \({\mathfrak{t}_{1}},\ldots, {{\mathfrak{t}}}_{n-p}\in T(M)\) beliebige Vektorfelder sind.

Die Signatur s von g ist die größte Zahl, die als Dimension eines negativ definiten Unterraumes U ⊂ T_x(M) eines Tangentialrames auftreten kann. Es gilt \begin{eqnarray}(* \alpha )\wedge \alpha ={(-1)}^{s}\omega \end{eqnarray} für alle α ∈ Λ^p (M).

Der Operator * ist bis auf einen Vorzeichenwechsel zu sich selbst invers. Sein Quadrat *² = * ∘ * bildet Λ^p (M) auf sich ab, und es gilt *²(α) = (−1)^p(n−p)+sα für α ∈ Λ^p (M).

Die alternierende Ableitung ist eine Familie linearer Differentialoperatoren d^p: Λ^p (M) → Λ^p+1 (M) erster Ordnung. Die Hodge-Ableitung wird über d durch die Formel \begin{eqnarray}{\delta }_{p}={(-1)}^{n(p+1)+1}* \circ {d}_{n-p}\circ * :\mathop{\wedge }\limits^{p}(M)\to \mathop{\wedge }\limits^{p-1}(M)\end{eqnarray} definiert.

Ist M kompakt, g positiv definit und α, β ∈ Λ^p (M), so ist α ∧ (*β) eine Differentialform der Stufe n. Das Integral \begin{eqnarray}{\langle \alpha, \beta \rangle }_{p}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}\alpha \wedge (* \beta )\end{eqnarray} definiert eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf Λ^p (M). Für alle β ∈ Λ^p+1 (M) und alle α ∈ Λ^p (M) gilt dann die Gleichung \begin{eqnarray}{\langle {d}_{p}\alpha, \beta \rangle }_{p+1}={\langle \alpha, {\delta }_{p+1}\beta \rangle }_{p},\end{eqnarray} sodaß δ_p+1 unter diesen Voraussetzungen der formal adjungierte Operator von d_p ist.

Eine explizite Formel für δ_pα erhält man durch die Wahl einer pseudoorthonormierten Basis X₁, …, X_n von Vektorfeldern. Das sind Vektorfelder, die zueinander orthogonal sind und die Länge ±1 haben. Da es im Fall einer positiven Signatur s > 0 i. a. nicht möglich ist, eine Basis aus Vektoren positiver Länge zu finden, muß man sich mit g(X_i, X_i) = ϵ_i = ±1 zufrieden geben. Dann kann man zeigen, daß δ_p(α) als Differentialform der Stufe p − 1 durch \begin{eqnarray}{\delta }_{p}(\alpha )({X}_{2},\ldots, {X}_{p})=-\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\varepsilon }_{i}({\nabla }_{{X}_{i}}\alpha )({X}_{i},{X}_{2},\ldots, {X}_{p})\end{eqnarray} gegeben ist.

Ist M = ℝⁿ der Euklidische Raum mit Standardmetrik, so sind die Tangential- und Kotangentialräume mit ℝⁿ zu identifizieren. Der Sternoperator wird hier auch Graßmannsche Ergänzung genannt. In der Dimension n = 2 ist *ℝ² → ℝ² die Drehung der Ebene um 90° im Uhrzeigersinn und für n = 3 stimmt * : Λ² ℝ³ → Λ¹ ℝ³ = ℝ³ mit dem klassischen vektoriellen Kreuzprodukt überein. Um den Sternoperator am Beispiel einer Metrik der Signatur s = 1 zu diskutieren, wählen wir für M den 4-dimensionalen Minkowski-Raum und eine pseudoorthonormierte Basis \({{\mathfrak{e}}}_{1},\space {{\mathfrak{e}}}_{2},\space {{\mathfrak{e}}}_{3},\space {{\mathfrak{e}}}_{4}\) von M. Es gelte \(g({{\mathfrak{e}}}_{i},\space {{\mathfrak{e}}}_{j})\space =\space 0\) für i ≠ j und \(g({{\mathfrak{e}}}_{i},\space {{\mathfrak{e}}}_{j})\space =\space {\varepsilon }_{i}\), mit ϵ_i = 1 für i = 1, 2, 3, ϵ₄ = −1. Diese Basis bestimmt ein Koordinatensystem (x¹, x², x³, x⁴) von M, und die zugehörigen Differentialformen dx¹, dx², dx³, dx⁴ sind sowohl die zu \({{\mathfrak{e}}}_{1},\space {{\mathfrak{e}}}_{2},\space {{\mathfrak{e}}}_{3},\space {{\mathfrak{e}}}_{4}\) duale Basis von M* als auch eine Basis von Λ¹ (M). Eine Basis von Λ² (M) ist dann durch die sechs Differentialformen dxⁱ ∧ dx^j, (1 ≤ i ≤ j ≤ 4), eine Basis von Λ³ (M) durch die vier Differentialformen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\beta }_{4}=d{x}^{1}\wedge d{x}^{2}\wedge d{x}^{3},\space {\beta }_{3}=d{x}^{1}\wedge d{x}^{2}\wedge d{x}^{4},\\ {\beta }_{2}=d{x}^{1}\wedge d{x}^{3}\wedge d{x}^{4},\space \space {\beta }_{1}=d{x}^{2}\wedge d{x}^{3}\wedge d{x}^{4},\end{array}\end{eqnarray} eine Basis von Λ⁴ (M) durch die Form \(\omega =d{x}^{1}\wedge d{x}^{2}\wedge d{x}^{3}\wedge d{x}^{4}\) und schließlich eine Basis von Λ⁰ (M) durch die konstante Funktion 1 gegeben.

Die lineare Abbildung * ist durch ihre Wirkung auf diesen Basen wie folgt bestimmt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}* 1=\omega, \quad * \omega =-1,\\ \begin{array}{lll}* d{x}^{i} & = & {\mu }_{i}{\beta }_{i}\\ * {\beta }_{i} & = & {\mu }_{i}d{x}^{i}\end{array}\left\}{\mu }_{i}=1\space \space \text{f}{\ddot{\text u}}\text {r}\space \space i\ne 2,\space {\mu }_{2}=-1,\right.\end{array}\end{eqnarray} sowei \begin{eqnarray}* (d{x}^{i}\wedge d{x}^{j})={\varepsilon }_{i}{\varepsilon }_{j}\text{sign}(klij)\space d{x}^{k}\wedge d{x}^{l}.\end{eqnarray}

In der letzten Gleichung bilden die Indizes k< l das zu dem Indexpaar (i, j) komplementäre, d. h. es ist {k, l} = {1, 2, 3, 4}\{i, j}. In der Folge k, l, i, j kommt daher jede der Zahlen 1, 2, 3, 4 genau einmal vor. Somit ist (k, l, i, j) eine Permutation σ von 1, 2, 3, 4. Das Vorzeichen von σ wurde mit sign(klij) bezeichnet.

Jede p-Form α ∈ Λ^p (M) ist eine Linearkombination der oben angegebenen Basisformen, und δ_p(α) kann mit diesen Angaben durch lineare Ausdehnung berechnet werden. Ist z. B. f eine differenzierbare Funktion auf M und α = f dx¹, so folgt \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\delta }_{1}(f\space d{x}^{i})=-{\mu }_{i}\ast \circ d(f{\beta }_{i})=\\ \space -{\mu }_{i}{(-1)}^{i-1}\ast \left(\frac{\partial f}{\partial {x}^{i}}\omega \right)={\mu }_{i}{(-1)}^{i-1}\frac{\partial f}{\partial {x}^{i}}.\end{array}\end{eqnarray}

Für eine allgemeine 1-Form α = f₁dx¹ + … + f₄dx⁴ ist dann δ₁(α) = δ₁(f₁dx¹)+ … + δ₁(f₄dx⁴).