Lexikon der Mathematik: Riemannsche Mannigfaltigkeit
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M mit der Eigenschaft, daß auf jedem Tangentialraum Tp(M) eine nicht ausgeartetete symmetrische Bilinearform
Man unterscheidet eigentliche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eigentliche Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind durch einen positiv definiten Fundamentaltensor gekennzeichnet, während der Fundamentaltensor von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten indefinit ist. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist parakompakt, wenn sie Hausdorffsch ist und ihre Topologie eine abzählbare Basis besitzt. Mit Hilfe der Methode der Zerlegung der Einheit beweist man:
Auf jeder parakompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit existieren positiv definite Riemannsche Metriken.
Anders ist es bei pseudo-Riemannschen Metriken. Diese existieren auf einer Riemannsche Mannigfaltigkeit M nur, wenn M bestimmte topologische Bedingungen erfüllt.
Siehe auch Riemannsche Fläche und Riemannsche Geometrie.
[1] Sulanke, R.; Wintgen, P.: Differentialgeometrie und Faserbündel. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972.
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