eine Bialgebra (H, m, ϵ, Δ, α) über einem kommutativen Ring R mit einer bijektiven R-Modulabbildung S : H → H (der Antipodenabbildung) derart, daß \begin{eqnarray}m\circ (S\otimes {\text{id}}_{H})\circ {\rm{\Delta }}=\varepsilon \circ \alpha \end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}m\circ ({\text{id}}_{H}\otimes S)\circ {\rm{\Delta }}=\varepsilon \circ \alpha .\end{eqnarray}

Manche Autoren setzen die Antipodenabbildung nicht notwendig als bijektiv voraus. Die Antipodenabbildung ist ein Anti-Automorphismus von Hopf-Algebren.

Die Bialgebrenstruktur der Gruppenalgebra \({\mathbb{K}}\text{(}G\text{)}\) einer Gruppe G wird durch S(g) ≔ g⁻¹ zu einer Hopf-Algebra. Die Universelle Einhüllende U(L) einer Lie-Algebra L wird zu einer Hopf-Algebra durch die durch S(x) ≔ −x für x ∈ L induzierte Abbildung auf U(L).

Weitere Beispiele für Hopf-Algebren werden durch die Algebra der regulären Funktionen auf einer affinen algebraischen Gruppe über einem Körper, durch die Algebra der darstellbaren Funktionen auf einer kompakten topologischen Gruppe und durch die Algebra der singulären Homologie H_*(G, ℂ) einer zusammenhängenden endlichdimensionalen Lie-Gruppe G gegeben. In diesen <?PageNum _439Fällen wird die Algebrenstruktur durch die Gruppenmultiplikation G × G → G und die Komultiplikation durch die Diagonalabbildung G → G × G induziert.