Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit, die man durch Quotientenbildung nach der Transformationsgruppe erhält. Die freie zyklische Gruppe \begin{eqnarray}G:=\{z\mapsto {2}^{j}z;j\in {\mathbb{Z}}\}\subset Aut({{\mathbb{C}}}^{2* })\end{eqnarray} operiert offensichtlich frei und eigentlich diskontinuierlich auf ℂ^2*. Daher ist die Hopf-Fläche ℂ^2*/G eine Mannigfaltigkeit. Sie ist homöomorph zu S¹ × S³ und daher kompakt. Der Beweis beruht auf dem Homöomorphismus \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\rm{{\mathbb{R}}}}\times {{\mathbb{C}}}^{2}\supset {\rm{{\mathbb{R}}}}\times {S}^{3}\mathop{\to }\limits^{\varphi }{{\mathbb{C}}}^{2* },\\ (t,{z}_{1},{z}_{2})\mapsto {2}^{t}({z}_{1},{z}_{2})\end{array}\end{eqnarray} bezüglich der Operation von ℤ auf ℝ × S³, die definiert ist durch m·(t, z) ≔ (t + m, z). Dieser Homöomorphismus ist äquivariant (d. h. ϕ(m · a) = 2^mϕ(a)), und die Behauptung folgt aus der Kommutativität des Diagramms \begin{eqnarray}\begin{array}{lllll} & & {\rm{{\mathbb{R}}}}\times {S}^{3} & \mathop{\to }\limits^{\varphi } & {{\mathbb{C}}}^{2* }\\ & & \space \space \space \downarrow & & \space \downarrow \\ {S}^{1}\times {S}^{3} & \cong & ({\rm{{\mathbb{R}}}}\times {S}^{3})/{\mathbb{Z}} & \bar{\to } & {{\mathbb{C}}}^{2* }/G.\end{array}\end{eqnarray}

Im übrigen kann jede Mannigfaltigkeits-Struktur auf S¹ × S³ analog in der Form ℂ^2*/G, für ein geeignetes G, dargestellt werden. Es kann gezeigt werden, daß die Hopf-Fläche nicht projektiv-algebraisch ist (andernfalls wäre, als eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit, ihre erste Betti-Zahlb₁ gerade, während aber b₁(S¹ × S³) = 1 ist).