Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Seien c₁, …, c_2n ∈ ℂⁿ 2n reell-linear unabhängige Vektoren. Dann ist \begin{eqnarray}\Gamma :=\{\zeta =\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{2n}{k}_{\lambda }{c}_{\lambda }:{k}_{\lambda }\in {\mathbb{Z}}\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ \lambda =1,\ldots,2n\}\end{eqnarray}

eine Untergruppe der additiven Gruppe des ℂⁿ (eine Translationsgruppe). Zwei Punkte des ℂⁿ sollen äquivalent heißen, wenn sie durch eine Translation aus Γ hervorgehen, d. h.: ζ ∼ ζ′ genau dann, wenn ζ −ζ^′ ∈ Γ. Man versieht die Menge aller Äquivalenzklassen mit der feinsten Topologie, für die die kanonische Projektion π_T : ℂⁿ → Tⁿ stetig ist. Den topologischen Raum Tⁿ = ℂⁿ/ Γ bezeichnet man als einen n-dimensionalen komplexen Torus. Je zwei n-dimensionale komplexe Tori sind zueinander homöomorph. Man kann zeigen, daß π_T eine offene Abbildung ist. Für einen beliebigen Punkt ζ₀ ∈ ℂⁿ ist die Menge \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{F}_{{\zeta }_{0}} & := & \{\zeta ={\zeta }_{0}+\displaystyle \sum _{\nu=1}^{2n}{r}_{\nu}{c}_{\nu}:{r}_{\nu}\in\ {\mathbb{R}}\ \text{und}\\ & & -\frac{1}{2}\lt {r}_{\nu}\lt \frac{1}{2}\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\ \nu=1,\ldots,2n\}\end{array}\end{eqnarray}

offen im ℂⁿ. Ist U_ζ0 := π_T(F_ζ0), dann ist U_ζ0 := (π_T | F_ζ0)⁻¹ : U_ζ0 → F_ζ0 ein komplexes Koordinatensystem für den Torus, und die Menge aller U_ζ0 überdeckt den ganzen Torus. Es gilt:

Tⁿ ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die kanonische Projektion π_T : ℂⁿ → Tⁿ ist holomorph.

Da die komplexe Struktur auf Tⁿ von den Vektoren c₁, …, c_2n abhängt, schreibt man auch Tⁿ = Tⁿ (c₁, …, c_2n).