Vorgehensweise zur näherungsweisen (numerischen) Berechnung der Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀.

Dabei werden mit einer Unterteilung des Definitionsgebiets in (meist) äquidistante Stellen x_i = x₀ + ih, i = 1, 2, …, Näherungen y_i von y(x_i) berechnet. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren werden in den verwendeten Approximationsformeln an der Stelle x_i nicht nur die Werte von x_i−1, sondern auch Werte weiter zurückliegender Stellen verwendet. Ein allgemeines (lineares) m-Schrittverfahren läßt sich beschreiben in der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{y}_{s+j}=h\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{b}_{j}f({x}_{s+j},{y}_{s+j})\end{eqnarray}

mit s = i − m, i ≥ m, und festen Koeffizienten a_j und b_j, für die \({a}_{0}^{2}+{b}_{0}^{2}\ne 0\) gelten muß. Üblicherweise ist a_m = 1 normiert. Das Mehrschrittverfahren heißt explizit, falls b_m = 0, andernfalls heißt es implizit. Beispiel für ein explizites Mehrschrittverfahren ist die Adams-Bashforth-Methode, für ein implizites Verfahren die Adams-Moulton-Methode.

Um ein Mehrschrittverfahren anwenden zu können, benötigt man neben dem Startwert y₀ auch Näherungen für y₁, …, y_m−1, welche man z. B. durch ein Einschrittverfahren ermitteln kann.

Der lokale Diskretisierungsfehler d_i eines Mehrschrittverfahrens an der Stelle x_i wird definiert als die Größe \begin{eqnarray}{d}_{i}:=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}[{a}_{j}{y}_{s+j}-h{b}_{j}f({x}_{s+j},y({x}_{s+j}))].\end{eqnarray}

Ein Mehrschrittverfahren hat die Verfahrensordnung p, falls d_i = O(h^p+¹). Es heißt konsistent, wenn die Verfahrensordnung mindestens gleich 1 ist. Ordnet man dem Mehrschrittverfahren die beiden charakteristischen Polynome \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\psi (z)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{z}^{j} & \mathrm{und} & \phi (z)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{b}_{j}{z}^{j}\end{array}\end{eqnarray}

zu, so ist die Konsistenz äquivalent mit den Bedingungen ψ(1) = 0 und ψ′(1) − ϕ(1) = 0.

Konsistenz ist noch nicht hinreichend für die Konvergenz des Verfahrens für h → 0. Vielmehr muß es auch noch (null)stabil sein, was besagt, daß die Wurzeln ξ von ψ betragsmäßig ≤ 1 sein müssen, wobei „=“ nicht für mehrfache Wurzeln erfüllt sein darf. Ein Mehrschrittverfahren ist demnach genau dann konvergent, wenn es konsistent und nullstabil ist.