funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und \({\mathcal{F}}\)eine Familie von in Dholomorphen Funktionen. Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent:

1. Es ist \({\mathcal{F}}\)einenormale Familie in D.
2. Es ist \({\mathcal{F}}\)lokal gleichmäßig beschränkt in D,d. h. zu jedem z₀ ∈ D gibt es eine Konstante M = M(z₀) ≥ 0 und eine Umgebung U ⊂ D von z₀derart, daß | f(z)| ≤ M für alle z ∈ U und alle f ∈ \({\mathcal{F}}\).

Eine wesentlich schärfere Version ist der sog. große Satz von Montel, der auch Montelsches Normalitätskriterium genannt wird.

Es seien G ⊂ ℂ einGebiet und a, b, \(c\,\in \,\hat{{\mathbb{C}}}\)drei verschiedene Punkte. Ist \({\mathcal{F}}\)eine Familie von in Gmeromorphen Funktionen derart, daß \(f(G)\,\subset \,\hat{{\mathbb{C}}}\,\text{}\,\{a\,\text{,}\,b\,\text{,}\,c\}\)für alle f ∈ \({\mathcal{F}}\), so ist \({\mathcal{F}}\)eine in G normale Familie im erweiterten Sinne.

Ist \({\mathcal{F}}\) eine Familie holomorpher Funktionen, so nimmt kein f ∈ \({\mathcal{F}}\) den Wert ∞ an, und man erhält sofort folgendes Kriterium.

Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet und a, b ∈ ℂ zwei verschiedene Punkte. Ist \({\mathcal{F}}\)eine Familie von in G holomorphen Funktionen derart, daß f(G) ⊂ ℂ \{a, b} für alle f ∈ \({\mathcal{F}}\), so ist \({\mathcal{F}}\)eine in G normale Familie im erweiterten Sinne.

Eine weitere Verschärfung des Montelschen Normalitätskriteriums liefert der Satz von Montel-Carathéodory. Dabei bezeichnet χ die chordale Metrik auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\,\) (Kompaktifizierung von ℂ).

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und δ eine positive Konstante. Weiter sei \({\mathcal{F}}\)eine Familie von in G meromorphen Funktionen derart, daß zu jedem f ∈ \({\mathcal{F}}\)drei verschiedene Punkte \({a}_{f}\,\text{,}\,{b}_{f}\,\text{,}\,{c}_{f}\,\in \,\,\hat{{\mathbb{C}}}\,\)existieren mit \(f(G)\,\subset \,\hat{{\mathbb{C}}}\,\text{}\,\{{a}_{f}\text{,}\,{b}_{f}\text{,}\,{c}_{f}\}\,\)und\begin{eqnarray}\min \,\{\unicode{x003C7}({a}_{f}\text{,}\,{b}_{f})\text{,}\,\unicode{x003C7}({a}_{f}\text{,}\,{c}_{f})\text{,}\,\unicode{x003C7}({b}_{f}\text{,}\,{c}_{f})\}\,\ge \,\delta \,\text{.}\,\end{eqnarray}

Dann ist \({\mathcal{F}}\)eine in G normale Familie im erweiterten Sinne.