die Regel \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}{u}{^{\prime} }(t)v(t)\,dt=u(x)v(x)-\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}u(t){v}{^{\prime} }(t)\,dt\end{eqnarray} für zwei stetig differenzierbare Funktionen u, v : j → ℝ auf einem Intervall j in ℝ. Dies liest man direkt aus der Produktregel für die Differentiation ab.

Beispiel: Gesucht ist eine Stammfunktion zur Logarithmusfunktion ln; man erhält: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}\mathrm{ln}(t)\,dt & = & \displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int }}1\cdot \mathrm{ln}(t)\,dt=x\mathrm{ln}x-\displaystyle \underset{}{\overset{x}\,{\int }}\,t\frac{1}{t}dt\\ & = & x\mathrm{ln}x-x\,\,\,\,(x\gt 0).\end{array}\end{eqnarray}

Hier wurden u(t) ≔ t und v(t) ≔ ln(t) herangezogen.

Aus der o. a. Regel erhält man über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung die entsprechende Regel für das bestimmte Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}{^{\prime} }(t)v(t)\,dt=u(x)v(x){|}_{a}^{b}-\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){v}{^{\prime} }(t)\,dt\end{eqnarray} für zwei stetig differenzierbare Funktionen u, v : [a, b] → ℝ mit −∞ < a< b< ∞.

Man vergleiche hierzu auch partielle Integration, Formeln der, und partielle Integration für mehrdimensionale Integrale.